Найдите промежутки убывания функции y=-2x^3+6x^2+18x-4
Найдите промежутки убывания функции y=-2x^3+6x^2+18x-4
Чтобы найти промежутки убывания функции ( y = -2x^3 + 6x^2 + 18x - 4 ), следуем следующему алгоритму:
Найдем производную функции: Производная функции позволяет определить скорость изменения функции в каждой точке. Для данной функции: [ y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 6x^2 + 18x - 4). ] Применяя правила дифференцирования, получаем: [ y' = -6x^2 + 12x + 18. ]
Найдем критические точки: Критические точки находятся путем решения уравнения ( y' = 0 ): [ -6x^2 + 12x + 18 = 0. ] Разделим все уравнение на -6, чтобы упростить его: [ x^2 - 2x - 3 = 0. ] Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: [ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16. ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2}. ] Таким образом, ( x_1 = 3 ) и ( x_2 = -1 ).
Проверим знаки производной на интервалах: Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: ( (-\infty, -1) ), ( (-1, 3) ), ( (3, \infty) ). Исследуем знаки производной на каждом из этих промежутков:
Для ( x \in (-\infty, -1) ), выберем тестовую точку, например ( x = -2 ): [ y'(-2) = -6(-2)^2 + 12(-2) + 18 = -24 - 24 + 18 = -30. ] Здесь производная отрицательна, так что функция убывает.
Для ( x \in (-1, 3) ), выберем тестовую точку, например ( x = 0 ): [ y'(0) = -6(0)^2 + 12(0) + 18 = 18. ] Здесь производная положительна, так что функция возрастает.
Для ( x \in (3, \infty) ), выберем тестовую точку, например ( x = 4 ): [ y'(4) = -6(4)^2 + 12(4) + 18 = -96 + 48 + 18 = -30. ] Здесь производная отрицательна, так что функция убывает.
Вывод: Таким образом, функция ( y = -2x^3 + 6x^2 + 18x - 4 ) убывает на промежутках ( (-\infty, -1) ) и ( (3, \infty) ).
Для того чтобы найти промежутки убывания функции y=-2x^3+6x^2+18x-4, необходимо найти критические точки функции, где происходит изменение знака производной.
Для этого сначала найдем производную данной функции: y' = -6x^2 + 12x + 18.
Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: -6x^2 + 12x + 18 = 0. Получаем x = -1, x = 3.
Теперь построим таблицу знаков производной для интервалов (-бесконечность; -1), (-1; 3), (3; +бесконечность): Подставим в производную произвольное значение из каждого интервала: Для x = -2 -> y' = -6(-2)^2 + 12(-2) + 18 = 6 > 0, Для x = 0 -> y' = -60^2 + 120 + 18 = 18 > 0, Для x = 4 -> y' = -64^2 + 124 + 18 = -6 < 0.
Из таблицы знаков производной видно, что функция убывает на интервалах (-бесконечность; -1) и (3; +бесконечность). Таким образом, промежутки убывания функции y=-2x^3+6x^2+18x-4 это (-бесконечность; -1) и (3; +бесконечность).
