Найдите производную функции: y=корень из x*(2x-4)

Для нахождения производной функции ( y = \sqrt{x} \cdot (2x - 4) ), воспользуемся правилом произведения и правилом цепочки.

Шаг 1: Запишем функцию в более удобной форме. [ y = \sqrt{x} \cdot (2x - 4) ]

Шаг 2: Представим (\sqrt{x}) как (x^{1/2}): [ y = x^{1/2} \cdot (2x - 4) ]

Шаг 3: Применим правило произведения для нахождения производной. Согласно правилу произведения, если ( y = u \cdot v ), то ( y' = u' \cdot v + u \cdot v' ).

Пусть: [ u = x^{1/2} ] [ v = 2x - 4 ]

Теперь найдем производные ( u ) и ( v ): [ u' = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} ] [ v' = \frac{d}{dx}(2x - 4) = 2 ]

Шаг 4: Подставим найденные производные в правило произведения: [ y' = u' \cdot v + u \cdot v' ] [ y' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \cdot (2x - 4) + x^{1/2} \cdot 2 ]

Шаг 5: Упростим полученное выражение: [ y' = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x}} + 2\sqrt{x} ]

Шаг 6: Приведем выражение к общему знаменателю: [ y' = \frac{2x - 4 + 4x}{2\sqrt{x}} ] [ y' = \frac{6x - 4}{2\sqrt{x}} ]

Шаг 7: Упростим дробь: [ y' = \frac{2(3x - 2)}{2\sqrt{x}} ] [ y' = \frac{3x - 2}{\sqrt{x}} ]

Шаг 8: Представим результат в более удобной форме. Разделим каждое слагаемое числителя на (\sqrt{x}): [ y' = \frac{3x}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} ] [ y' = 3\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} ] [ y' = 3\sqrt{x} - 2x^{-1/2} ]

Итак, производная функции ( y = \sqrt{x} \cdot (2x - 4) ) равна: [ y' = 3\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} ] или [ y' = 3x^{1/2} - 2x^{-1/2} ]

Для нахождения производной функции y = √(x*(2x-4)) необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Для этого сначала выразим данную функцию в виде y = (x*(2x-4))^(1/2). Затем продифференцируем это выражение по x, используя цепное правило, которое гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Производная внешней функции (по формуле (u)^(1/2) = 1/2(u)^(-1/2)du) равна (1/2)(x(2x-4))^(-1/2)d(x(2x-4)), где d(x*(2x-4)) = 2x - 4dx.

Теперь умножим производную внешней функции на производную внутренней функции (по формуле x*(2x-4) = 2x^2 - 4x) и получим:

(1/2)(x(2x-4))^(-1/2)(2x - 4dx)(2x^2 - 4x)

Упростим данное выражение и получим окончательный ответ на производную функции y = √(x*(2x-4)).