Найдите производную функции: ln x / 1-x

Для нахождения производной функции вида ( f(x) = \frac{\ln x}{1-x} ), мы можем использовать правило дифференцирования частного. Пусть ( u(x) = \ln x ) и ( v(x) = 1 - x ). Тогда производная функции ( f(x) ) вычисляется по формуле:

[ f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{[v(x)]^2} ]

1. Найдем производные ( u(x) ) и ( v(x) ):

   • ( u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x} ), так как производная натурального логарифма (\ln x) равна (\frac{1}{x}).
   • ( v'(x) = (1 - x)' = -1 ), так как производная константы равна 0, и производная ( -x ) равна ( -1 ).

2. Подставляем в формулу:

   • ( u(x) = \ln x )
   • ( v(x) = 1 - x )
   • ( u'(x) = \frac{1}{x} )
   • ( v'(x) = -1 )

Подставляя все значения, получаем: [ f'(x) = \frac{\frac{1}{x}(1 - x) - \ln x(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{\frac{1-x}{x} + \ln x}{(1-x)^2} ]

Таким образом, производная функции ( \frac{\ln x}{1-x} ) равна: [ f'(x) = \frac{\frac{1-x}{x} + \ln x}{(1-x)^2} ]

Это и есть искомая производная функции.

Для нахождения производной функции ln x / (1-x) воспользуемся правилом дифференцирования частного функций.

Сначала найдем производные от функций ln x и 1-x:

1. Производная от ln x равна 1/x.
2. Производная от (1-x) равна -1.

Теперь применим правило дифференцирования частного функций: (f/g)' = (f'g - fg') / g^2

Где f = ln x, f' = 1/x, g = (1-x), g' = -1.

Подставляем данные значения и получаем: (ln x / (1-x))' = ((1/x)(1-x) - ln x(-1)) / (1-x)^2

Упрощаем выражение: ((1-x)/x + ln x) / (1-x)^2

Таким образом, производная функции ln x / (1-x) равна ((1-x)/x + ln x) / (1-x)^2.