Найдите производную функции f(x)=x найдите производную функции f(x)=x^4sin2x
Найдите производную функции f(x)=x найдите производную функции f(x)=x^4sin2x
Найдем производную функции ( f(x) = x ).
Производная функции ( f(x) = x ) относительно ( x ) равна 1. Это базовое правило дифференцирования, которое утверждает, что производная линейной функции с коэффициентом 1 равна этому коэффициенту.
[ f'(x) = 1 ]
Теперь перейдем к функции ( f(x) = x^4 \sin(2x) ).
Для нахождения производной этой функции, мы используем правило произведения, которое гласит, что если у нас есть функция в виде произведения двух функций ( u(x) ) и ( v(x) ), то производная такого произведения равна:
[ (uv)' = u'v + uv' ]
В данном случае, пусть:
[ u(x) = x^4 ] [ v(x) = \sin(2x) ]
Тогда их производные будут:
[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3 ] [ v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(2x)) ]
Для нахождения производной ( \sin(2x) ), используем правило цепочки. Производная ( \sin(u) ) равна ( \cos(u) ), где ( u = 2x ). Тогда производная ( \sin(2x) ) будет:
[ \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) ]
Теперь подставим найденные производные в правило произведения:
[ \frac{d}{dx}(x^4 \sin(2x)) = (x^4)' \sin(2x) + x^4 (\sin(2x))' ] [ = 4x^3 \sin(2x) + x^4 \cdot 2\cos(2x) ] [ = 4x^3 \sin(2x) + 2x^4 \cos(2x) ]
Таким образом, производная функции ( f(x) = x^4 \sin(2x) ) равна:
[ f'(x) = 4x^3 \sin(2x) + 2x^4 \cos(2x) ]
На этом завершен процесс нахождения производных данных функций.
Для функции f(x) = x: Производная функции f(x) равна производной переменной x, то есть f'(x) = 1.
Для функции f(x) = x^4 sin(2x): Производная функции f(x) = x^4 равна 4x^3, а производная функции sin(2x) равна 2cos(2x) (по правилу дифференцирования сложной функции). Таким образом, производная функции f(x) = x^4 sin(2x) равна произведению производной первой функции на вторую функцию, плюс произведению первой функции на производную второй функции: f'(x) = 4x^3 sin(2x) + x^4 2cos(2x) f'(x) = 4x^3 * sin(2x) + 2x^4cos(2x)
