Найдите производную функции: 1)y=2x sinx 2)y=12x^4-17x^3+27 3)y=sinx/x

Конечно, давайте найдем производные для каждой из указанных функций.

1) ( y = 2x \sin x )

Для нахождения производной этой функции нужно применить правило произведения, так как функция является произведением двух функций: ( u = 2x ) и ( v = \sin x ). По правилу произведения:

[ (y)' = u'v + uv' ]

где ( u' = \frac{d}{dx}(2x) = 2 ) и ( v' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ).

Подставим в формулу:

[ (y)' = 2 \cdot \sin x + 2x \cdot \cos x = 2\sin x + 2x\cos x ]

2) ( y = 12x^4 - 17x^3 + 27 )

Для нахождения производной многочлена используем правило дифференцирования степенной функции:

[ (y)' = \frac{d}{dx}(12x^4) - \frac{d}{dx}(17x^3) + \frac{d}{dx}(27) ]

Первая часть: ( \frac{d}{dx}(12x^4) = 12 \cdot 4x^{4-1} = 48x^3 ).

Вторая часть: ( \frac{d}{dx}(17x^3) = 17 \cdot 3x^{3-1} = 51x^2 ).

Третья часть: ( \frac{d}{dx}(27) = 0 ) (производная константы равна нулю).

Таким образом, производная:

[ (y)' = 48x^3 - 51x^2 ]

3) ( y = \frac{\sin x}{x} )

Для нахождения производной этой функции применим правило дифференцирования частного. Пусть ( u = \sin x ) и ( v = x ), тогда ( u' = \cos x ) и ( v' = 1 ).

По правилу частного:

[ (y)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

Подставим в формулу:

[ (y)' = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} ]

Итак, производная функции ( y = \frac{\sin x}{x} ) равна:

[ (y)' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} ]

Это завершает нахождение производных для всех трех функций.

1) Найдем производную функции y=2x sinx. y' = (2x)' sinx + 2x (sinx)' = 2 sinx + 2x cosx = 2(sinx + x cosx).

2) Найдем производную функции y=12x^4-17x^3+27. y' = (12x^4)' - (17x^3)' + (27)' = 48x^3 - 51x^2.

3) Найдем производную функции y=sinx/x. y' = (sinx/x)' = (x sinx - sinx)/x^2 = (sinx - x cosx)/x^2.