Найдите произведение корней уравнения: (3x+1)(2x^2+x-3)=0

Для того чтобы найти произведение корней уравнения ((3x + 1)(2x^2 + x - 3) = 0), сначала разберёмся с каждым из множителей отдельно.

Первый множитель: (3x + 1 = 0)

Решим это линейное уравнение: [ 3x + 1 = 0 ] [ 3x = -1 ] [ x = -\frac{1}{3} ]

Таким образом, один из корней уравнения ( x_1 = -\frac{1}{3} ).

Второй множитель: (2x^2 + x - 3 = 0)

Теперь решим квадратное уравнение. Для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) корни можно найти с помощью формулы: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В данном случае ( a = 2 ), ( b = 1 ), и ( c = -3 ). Найдём дискриминант ( \Delta ): [ \Delta = b^2 - 4ac ] [ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) ] [ \Delta = 1 + 24 ] [ \Delta = 25 ]

Теперь найдём корни: [ x{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} ] [ x{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} ] [ x_{2,3} = \frac{-1 \pm 5}{4} ]

Таким образом, получаем два корня: [ x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 ] [ x_3 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} ]

Произведение корней

Теперь, когда мы нашли все корни уравнения, а именно ( x_1 = -\frac{1}{3} ), ( x_2 = 1 ), и ( x_3 = -\frac{3}{2} ), найдём их произведение: [ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) ]

Произведение будет: [ \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ]

Итак, произведение корней уравнения ((3x + 1)(2x^2 + x - 3) = 0) равно (\frac{1}{2}).

Для нахождения произведения корней уравнения необходимо найти корни каждого из множителей и перемножить их.

1) Найдем корни первого множителя (3x + 1) уравнения: 3x + 1 = 0 3x = -1 x = -1/3

2) Найдем корни второго множителя (2x^2 + x - 3) уравнения: Для нахождения корней квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = 1^2 - 42(-3) = 1 + 24 = 25

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два действительных корня: x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1 = (-1 + 5) / 4 = 1 x2 = (-1 - 5) / 4 = -3/2

3) Найдем произведение корней всего уравнения: (-1/3) 1 (-3/2) = 1/2

Таким образом, произведение корней уравнения (3x+1)(2x^2+x-3)=0 равно 1/2.