Найдите площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2-3x+2, y=x-1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и проинтегрировать разность уравнений вдоль оси x.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 - 3x + 2 ) и ( y = x - 1 ), нужно сначала определить точки пересечения этих линий. Это можно сделать, приравняв ( x^2 - 3x + 2 ) и ( x - 1 ):

[ x^2 - 3x + 2 = x - 1 ]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

[ x^2 - 3x + 2 - x + 1 = 0 ] [ x^2 - 4x + 3 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем корни с помощью формулы:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Для уравнения ( x^2 - 4x + 3 = 0 ), коэффициенты: ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = 3 ). Подставляем их в формулу:

[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} ] [ x = \frac{4 \pm 2}{2} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 ] [ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 ]

Таким образом, точки пересечения линий — ( x = 1 ) и ( x = 3 ).

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной этими линиями, на отрезке ([1, 3]). Для этого нужно найти разность между значениями функций на этом интервале и интегрировать её.

Функция ( y = x - 1 ) является верхней границей, а ( y = x^2 - 3x + 2 ) — нижней границей на этом интервале.

[ \text{Площадь} = \int{1}^{3} \left( (x - 1) - (x^2 - 3x + 2) \right) \, dx ] [ = \int{1}^{3} \left( x - 1 - x^2 + 3x - 2 \right) \, dx ] [ = \int_{1}^{3} \left( -x^2 + 4x - 3 \right) \, dx ]

Теперь интегрируем:

[ \int \left( -x^2 + 4x - 3 \right) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x ]

Подставляем пределы интегрирования от 1 до 3:

[ \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3} ]

Вычисляем значения в точках 3 и 1:

Для ( x = 3 ):

[ -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 = -\frac{27}{3} + 2 \cdot 9 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0 ]

Для ( x = 1 ):

[ -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + 2 - 3 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} ]

Теперь находим разность значений:

[ 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 - 3x + 2 ) и ( y = x - 1 ), равна ( \frac{4}{3} ) квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя данными функциями, нужно сначала найти точки их пересечения. Для этого приравняем два уравнения и найдем x:

x^2 - 3x + 2 = x - 1 x^2 - 4x + 3 = 0 (x - 1)(x - 3) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 1 и x = 3.

Теперь найдем значения y в этих точках:

При x = 1: y = 1 - 1 = 0

При x = 3: y = 3 - 1 = 2

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями между точками пересечения, нужно найти интеграл разности этих функций от x=1 до x=3:

∫[1,3] (x - 1) - (x^2 - 3x + 2) dx = ∫[1,3] -x^2 + 4x - 3 dx = [-x^3/3 + 2x^2 - 3x] [1,3] = (9/3 - 18 + 9) - (1/3 - 2 + 3) = 6 - 12 = -6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-3x+2 и y=x-1 между точками пересечения равна 6.