Найдите площадь фигуры,ограниченной линиями y=4-x^2 и y=0

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой ( y = 4 - x^2 ) и прямой ( y = 0 ), мы будем использовать метод интегрирования. Данная фигура — это часть параболы, открывающейся вниз и пересекающей ось ( x ).

1. Найдем точки пересечения:

   Для этого решим уравнение ( 4 - x^2 = 0 ): [ 4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 ] Значит, точки пересечения с осью ( x ) находятся в ( x = -2 ) и ( x = 2 ).

2. Определим границы интегрирования:

   Границы интегрирования будут от ( x = -2 ) до ( x = 2 ).

3. Вычислим определённый интеграл:

   Площадь под кривой между этими двумя точками может быть найдена как интеграл от функции ( y = 4 - x^2 ) по ( x ) от (-2) до (2): [ \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx ]

4. Рассчитаем интеграл:

   Найдем первообразную для функции ( 4 - x^2 ): [ \int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C ]

   Теперь подставим пределы интегрирования: [ \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} ]

   Подставим верхний предел: [ \left(4(2) - \frac{(2)^3}{3}\right) = 8 - \frac{8}{3} = 8 - 2.67 = 5.33 ]

   Подставим нижний предел: [ \left(4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) = -8 + \frac{-8}{3} = -8 + 2.67 = -5.33 ]

   Вычислим разность: [ 5.33 - (-5.33) = 5.33 + 5.33 = 10.67 ]

5. Ответ:

   Площадь фигуры, ограниченной кривой ( y = 4 - x^2 ) и осью ( x ), равна ( \frac{16}{3} ) или примерно ( 10.67 ) квадратных единиц.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=4-x^2 и y=0, необходимо найти точки их пересечения.

Сначала найдем точки пересечения двух функций: 4 - x^2 = 0 x^2 = 4 x = ±2

Таким образом, точки пересечения двух функций: (-2, 0) и (2, 0).

Далее нужно найти интеграл по полуокружности с радиусом 2 (y=4-x^2) от -2 до 2 и вычесть площадь прямоугольника, ограниченного осью x и линией y=0.

S = ∫[from -2 to 2] (4 - x^2) dx - 2 * 4

S = [4x - (x^3)/3] |[from -2 to 2] - 8 S = [8 - 8/3] - 8 S = 16/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y=4-x^2 и y=0, равна 16/3.