Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=х в третьей степени и прямыми у=0 и х=2

Для нахождения площади фигуры ограниченной графиком функции у=х^3 и прямыми у=0 и х=2 необходимо вычислить интеграл функции у=х^3 от x=0 до x=2.

Интегрируя функцию у=х^3, получаем функцию F(x)=x^4/4.

Теперь вычисляем значение интеграла от 0 до 2: F(2) - F(0) = 2^4/4 - 0 = 16/4 = 4.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной графиком функции у=х^3 и прямыми у=0 и х=2 равна 4 квадратным единицам.

Для решения задачи необходимо найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = x^3 ), осью ( y ) (прямая ( y = 0 )) и вертикальной прямой ( x = 2 ).

Площадь фигуры под графиком функции на заданном интервале может быть найдена с помощью определённого интеграла. Здесь функция ( y = x^3 ) определена для всех ( x ) и является непрерывной, что позволяет использовать интегральное исчисление для нахождения площади.

Пределы интегрирования — от 0 до 2, так как мы рассматриваем интервал по оси ( x ) от 0 до 2, а функция ( y = 0 ) является нижней границей области.

Итак, площадь ( S ) под кривой задаётся интегралом: [ S = \int_{0}^{2} x^3 \, dx ]

Вычислим данный интеграл:

1. Найдём первообразную функции ( x^3 ). Проинтегрировав ( x^3 ), получаем: [ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C ] где ( C ) — константа интегрирования.

2. Подставим пределы интегрирования: [ S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} - 0 = 4 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = x^3 ), осью ( y ) и прямой ( x = 2 ), равна 4 квадратных единиц.

Площадь фигуры равна 4.