Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции y = x^2 -6 x +8, прямыми х =-2, х=-1 и осью абсцисс

Для того чтобы найти площадь фигуры ограниченной графиком функции y = x^2 - 6x + 8, прямыми х = -2, х = -1 и осью абсцисс, необходимо вычислить определенный интеграл функции на заданном интервале и затем найти разность между этими значениями.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Для этого решим уравнение y = 0: x^2 - 6x + 8 = 0 (x - 2)(x - 4) = 0 x = 2 или x = 4

Таким образом, точки пересечения графика функции с осью абсцисс равны x = 2 и x = 4.

Теперь вычислим определенный интеграл функции на интервале [2, 4]: S = ∫[2,4] (x^2 - 6x + 8)dx S = [x^3/3 - 3x^2 + 8x] [2,4] S = [(4^3/3 - 34^2 + 84) - (2^3/3 - 32^2 + 82)] S = [(64/3 - 48 + 32) - (8/3 - 12 + 16)] S = [(64/3 - 16) - (8/3 + 4)] S = [48/3 - 8 - 8/3 - 4] S = (16 - 8 - 8 - 4) S = -4

Итак, площадь фигуры ограниченной графиком функции y = x^2 - 6x + 8, прямыми х = -2, х = -1 и осью абсцисс равна -4 квадратных единицам.

Для нахождения площади фигуры ограниченной данными прямыми и графиком функции необходимо вычислить интеграл функции y = x^2 - 6x + 8 на интервале [-2, -1], затем взять модуль этого значения.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции ( y = x^2 - 6x + 8 ), прямыми ( x = -2 ), ( x = -1 ) и осью абсцисс необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс (ось ( x )):

Для этого решим уравнение ( x^2 - 6x + 8 = 0 ).

Используя дискриминант, ( D = b^2 - 4ac ):

[ a = 1, \, b = -6, \, c = 8 ]

[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} ]

[ x_1 = 4, \, x_2 = 2 ]

Таким образом, график функции пересекает ось абсцисс в точках ( (4, 0) ) и ( (2, 0) ).

1. Определить область интегрирования:

Поскольку нас интересует область между прямыми ( x = -2 ) и ( x = -1 ), мы будем интегрировать в этих пределах.

1. Найти площадь под кривой ( y = x^2 - 6x + 8 ) в пределах от ( x = -2 ) до ( x = -1 ):

[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{-1} (x^2 - 6x + 8) \, dx ]

Выполним интегрирование:

[ \int (x^2 - 6x + 8) \, dx = \int x^2 \, dx - \int 6x \, dx + \int 8 \, dx ]

[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int 6x \, dx = 3x^2, \quad \int 8 \, dx = 8x ]

Теперь подставим пределы интегрирования:

[ \left. \left( \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x \right) \right|_{-2}^{-1} ]

Подставим ( x = -1 ):

[ \left( \frac{(-1)^3}{3} - 3(-1)^2 + 8(-1) \right) = \left( -\frac{1}{3} - 3 - 8 \right) = -\frac{1}{3} - 11 = -\frac{34}{3} ]

Подставим ( x = -2 ):

[ \left( \frac{(-2)^3}{3} - 3(-2)^2 + 8(-2) \right) = \left( -\frac{8}{3} - 12 - 16 \right) = -\frac{8}{3} - 28 = -\frac{92}{3} ]

Теперь вычислим разницу значений при верхнем и нижнем пределах интегрирования:

[ \left( -\frac{34}{3} \right) - \left( -\frac{92}{3} \right) = -\frac{34}{3} + \frac{92}{3} = \frac{58}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = x^2 - 6x + 8 ), прямыми ( x = -2 ), ( x = -1 ), и осью абсцисс составляет ( \frac{58}{3} ) квадратных единиц.