Найдите первообразную функции f(x)= 4хкуб+ 8х-2 , график которой проходит через точку А(1;3)

Для нахождения первообразной функции (f(x) = 4x^3 + 8x - 2), проходящей через точку (A(1;3)), нам необходимо сначала найти первообразную этой функции, а затем использовать условие прохождения через точку.

1. Найдем первообразную функции (f(x) = 4x^3 + 8x - 2). Для этого возьмем производные каждого члена функции по отдельности:
   • Производная от (4x^3) равна (12x^2).
   • Производная от (8x) равна (8).
   • Производная от константы (-2) равна (0).

Теперь найдем первообразные для каждого члена:

• Первообразная для (12x^2) будет (\frac{12}{3} x^3 = 4x^3).
• Первообразная для (8) будет (8x).
• Первообразная для (0) будет константа (C).

Следовательно, первообразная функции (f(x) = 4x^3 + 8x - 2) равна (F(x) = x^4 + 4x^2 - 2x + C), где (C) - произвольная постоянная.

1. Теперь используем условие прохождения через точку (A(1;3)). Подставим координаты точки в уравнение первообразной: (3 = 1^4 + 4 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + C), (3 = 1 + 4 - 2 + C), (3 = 3 + C), (C = 0).

Таким образом, уравнение первообразной функции, проходящей через точку (A(1;3)), будет (F(x) = x^4 + 4x^2 - 2x).

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 4x^3 + 8x - 2 ), необходимо выполнить интегрирование. Первообразная функции ( f(x) ), обозначаемая как ( F(x) ), является функцией, производная которой равна ( f(x) ).

Процесс нахождения первообразной включает следующие шаги:

1. Интегрирование каждого члена функции:

   • Интеграл от ( 4x^3 ): [ \int 4x^3 \, dx = \frac{4}{4}x^4 = x^4 ]

   • Интеграл от ( 8x ): [ \int 8x \, dx = \frac{8}{2}x^2 = 4x^2 ]

   • Интеграл от (-2): [ \int -2 \, dx = -2x ]

2. Совмещение результатов интегрирования:

   Складываем найденные интегралы: [ F(x) = x^4 + 4x^2 - 2x + C ] Здесь ( C ) — произвольная константа интегрирования.

3. Использование начальных условий для нахождения константы ( C ):

   Нам известно, что график первообразной проходит через точку ( A(1, 3) ). Это значит, что при ( x = 1 ) значение функции ( F(x) ) равно 3. Подставим эти значения в уравнение: [ F(1) = 1^4 + 4 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + C = 3 ] [ 1 + 4 - 2 + C = 3 ] [ 3 + C = 3 ] [ C = 0 ]

Таким образом, первообразная функции ( f(x) = 4x^3 + 8x - 2 ), график которой проходит через точку ( A(1, 3) ), имеет вид: [ F(x) = x^4 + 4x^2 - 2x ]

Этот результат показывает, что заданная функция и ее первообразная связаны так, что производная от ( F(x) ) возвращает исходную функцию ( f(x) ). Мы также учли начальное условие, используя его для определения константы интегрирования.