Найдите первообразную функции f(x)=2sinx+x²

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 2\sin{x} + x^2 ), нужно найти такую функцию ( F(x) ), производная которой равна ( f(x) ). То есть, ( F'(x) = 2\sin{x} + x^2 ).

Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Мы будем находить неопределённый интеграл функции ( f(x) ).

Запишем неопределённый интеграл: [ \int (2\sin{x} + x^2) \, dx. ]

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому можно разложить выражение на два отдельных интеграла: [ \int 2\sin{x} \, dx + \int x^2 \, dx. ]

Теперь рассмотрим каждый интеграл отдельно.

1. Интегрируем ( 2\sin{x} ): [ \int 2\sin{x} \, dx = 2 \int \sin{x} \, dx. ]

Известно, что первообразная функции ( \sin{x} ) равна ( -\cos{x} ), поэтому: [ 2 \int \sin{x} \, dx = 2(-\cos{x}) = -2\cos{x}. ]

1. Интегрируем ( x^2 ): [ \int x^2 \, dx. ]

Для функции ( x^n ), где ( n \neq -1 ), первообразная равна ( \frac{x^{n+1}}{n+1} ). В данном случае ( n = 2 ), поэтому: [ \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}. ]

Теперь сложим полученные результаты: [ \int (2\sin{x} + x^2) \, dx = -2\cos{x} + \frac{x^3}{3} + C, ]

где ( C ) — постоянная интегрирования, которая появляется при нахождении неопределённого интеграла.

Итак, первообразная функции ( f(x) = 2\sin{x} + x^2 ) равна: [ F(x) = -2\cos{x} + \frac{x^3}{3} + C. ]

Первообразная функции f(x) = 2sin(x) + x² будет функция F(x), такая что её производная равна f(x). Для нахождения первообразной данной функции необходимо найти интеграл от f(x) по переменной x.

Интеграл от 2sin(x) по x равен -2cos(x) + C, где С - произвольная постоянная.

Интеграл от x² по x равен (1/3)x³ + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 2sin(x) + x² будет F(x) = -2cos(x) + (1/3)x³ + C, где C - произвольная постоянная.