Найдите первообразную функции f$x$=2sinx+x²

Чтобы найти первообразную функции $f(x$ = 2\sin{x} + x^2 ), нужно найти такую функцию $F(x$ ), производная которой равна $f(x$ ). То есть, $F^{\prime }(x$ = 2\sin{x} + x^2 ).

Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Мы будем находить неопределённый интеграл функции $f(x$ ).

Запишем неопределённый интеграл: $\int (2\sin x+x^2)dx.$

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому можно разложить выражение на два отдельных интеграла: $\int 2\sin xdx+\int x^{2}dx.$

Теперь рассмотрим каждый интеграл отдельно.

1. Интегрируем $2\sin x$: $\int 2\sin xdx=2\int \sin xdx.$

Известно, что первообразная функции $\sin x$ равна $-\cos x$, поэтому: $2\int \sin xdx=2(-\cos x)=-2\cos x.$

1. Интегрируем $x^2$: $\int x^{2}dx.$

Для функции $x^n$, где $n\ne -1$, первообразная равна $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. В данном случае $n=2$, поэтому: $\int x^{2}dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^3}{3}.$

Теперь сложим полученные результаты: $\int (2\sin x+x^2)dx=-2\cos x+\frac{x^3}{3}+C,$

где $C$ — постоянная интегрирования, которая появляется при нахождении неопределённого интеграла.

Итак, первообразная функции $f(x$ = 2\sin{x} + x^2 ) равна: $F(x)=-2\cos x+\frac{x^3}{3}+C.$

Первообразная функции f$x$ = 2sin$x$ + x² будет функция F$x$, такая что её производная равна f$x$. Для нахождения первообразной данной функции необходимо найти интеграл от f$x$ по переменной x.

Интеграл от 2sin$x$ по x равен -2cos$x$ + C, где С - произвольная постоянная.

Интеграл от x² по x равен $1/3$x³ + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f$x$ = 2sin$x$ + x² будет F$x$ = -2cos$x$ + $1/3$x³ + C, где C - произвольная постоянная.