Найдите обратную функцию к заданной функции и постройте их графики: y=6-2x

Чтобы найти обратную функцию, необходимо поменять местами x и y: x = 6 - 2y Теперь найдем y: y = (6 - x) / 2 Обратная функция: y = (6 - x) / 2

Построим графики:

• График функции y = 6 - 2x - это прямая линия с наклоном -2 и y-пересечением 6.
• График обратной функции y = (6 - x) / 2 - это также прямая линия, но с наклоном 1/2 и y-пересечением 3.

Графики будут пересекаться в точке (2,2).

Для того чтобы найти обратную функцию к заданной функции y=6-2x, нужно поменять местами переменные x и y и решить уравнение относительно y.

Таким образом, меняем местами x и y: x = 6 - 2y

Теперь решаем уравнение относительно y: 2y = 6 - x y = (6 - x) / 2

Полученная функция y = (6 - x) / 2 является обратной к исходной функции y = 6 - 2x.

Теперь построим графики обеих функций на одном графике. График функции y = 6 - 2x представляет собой прямую линию с наклоном вниз и вправо, пересекающую ось y в точке (0, 6). График обратной функции y = (6 - x) / 2 также будет представлять собой прямую линию, но уже с другим наклоном, пересекающую ось y в точке (0, 3).

На графике обе функции будут отражены симметрично относительно прямой y=x, так как она является осью симметрии для обратных функций.

Для того чтобы найти обратную функцию к заданной функции ( y = 6 - 2x ), нужно выполнить несколько шагов.

1. Выразить ( x ) через ( y ): [ y = 6 - 2x ] Чтобы выразить ( x ), следуем следующим шагам: [ y - 6 = -2x ] [ x = \frac{6 - y}{2} ]

2. Переписать результат как функцию: Полученная формула ( x = \frac{6 - y}{2} ) описывает ( x ) в терминах ( y ). Для записи обратной функции ( y ) в терминах ( x ), мы просто заменяем ( y ) на ( f^{-1}(x) ) и ( x ) на ( y ): [ f^{-1}(x) = \frac{6 - x}{2} ]

Таким образом, обратная функция ( f^{-1}(x) ) к исходной функции ( y = 6 - 2x ) является: [ f^{-1}(x) = \frac{6 - x}{2} ]

1. Построение графиков:

   • Исходная функция ( y = 6 - 2x ): Это линейная функция с отрицательным коэффициентом наклона. Прямую можно построить, найдя несколько точек. Например:

     • Для ( x = 0 ): ( y = 6 - 2 \cdot 0 = 6 )
     • Для ( x = 1 ): ( y = 6 - 2 \cdot 1 = 4 )
     • Для ( x = 2 ): ( y = 6 - 2 \cdot 2 = 2 )

   • Обратная функция ( y = \frac{6 - x}{2} ): Это тоже линейная функция, но с другим коэффициентом наклона. Для построения найдем несколько точек:

     • Для ( x = 0 ): ( y = \frac{6 - 0}{2} = 3 )
     • Для ( x = 2 ): ( y = \frac{6 - 2}{2} = 2 )
     • Для ( x = 4 ): ( y = \frac{6 - 4}{2} = 1 )

2. Отметить точки на графике: На графике координатной плоскости отметьте найденные точки для обеих функций и проведите прямые через эти точки.

3. Проверка графической инверсии: Обратные функции ( f ) и ( f^{-1} ) симметричны относительно прямой ( y = x ). Если построить обе функции на одном графике, их линии должны зеркально отражаться относительно прямой ( y = x ).

Таким образом, графики функций ( y = 6 - 2x ) и ( y = \frac{6 - x}{2} ) будут пересекаться и отражаться относительно линии ( y = x ).