Найдите область определения функции y=корень из x-x^2

Для функции y=√(x-x^2) областью определения будет множество всех значений x, для которых выражение под корнем неотрицательно. Это означает, что x-x^2 должно быть больше или равно нулю.

Для решения данного неравенства можно сначала выразить его в виде квадратного уравнения: x-x^2 ≥ 0. После преобразований получаем x^2 - x ≤ 0. Далее факторизуем это уравнение: x(x-1) ≤ 0.

Для нахождения области определения функции нужно найти корни уравнения x(x-1)=0 и построить интервалы на числовой прямой, которые удовлетворяют неравенству x(x-1) ≤ 0. Решив данное уравнение, получаем два корня: x=0 и x=1.

Таким образом, областью определения функции y=√(x-x^2) будет интервал от 0 до 1 включительно, так как только в этом интервале значение выражения под корнем будет неотрицательным.

Чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt{x - x^2} ), нужно определить значения переменной ( x ), при которых выражение под корнем является неотрицательным, поскольку корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел.

Рассмотрим неравенство под корнем:

[ x - x^2 \geq 0 ]

Это неравенство можно переписать в виде:

[ x(1 - x) \geq 0 ]

Теперь найдем корни уравнения ( x(1 - x) = 0 ):

1. ( x = 0 )
2. ( 1 - x = 0 ) => ( x = 1 )

Эти точки делят числовую ось на три интервала: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 1) ) и ( (1, +\infty) ). Проверим знак выражения ( x(1 - x) ) на каждом из этих интервалов.

1. Для интервала ( (-\infty, 0) ): Возьмем ( x = -1 ). Тогда ( x(1 - x) = (-1)(1 - (-1)) = -1 \times 2 = -2 ), что меньше нуля. Следовательно, на этом интервале выражение отрицательно.

2. Для интервала ( (0, 1) ): Возьмем ( x = 0.5 ). Тогда ( x(1 - x) = 0.5 \times (1 - 0.5) = 0.5 \times 0.5 = 0.25 ), что больше нуля. Следовательно, на этом интервале выражение положительно.

3. Для интервала ( (1, +\infty) ): Возьмем ( x = 2 ). Тогда ( x(1 - x) = 2(1 - 2) = 2 \times (-1) = -2 ), что меньше нуля. Следовательно, на этом интервале выражение отрицательно.

Кроме того, проверим значение в точках ( x = 0 ) и ( x = 1 ):

• При ( x = 0 ): ( x(1 - x) = 0 \times (1 - 0) = 0 ).
• При ( x = 1 ): ( x(1 - x) = 1 \times (1 - 1) = 1 \times 0 = 0 ).

Оба значения равны нулю, что удовлетворяет неравенству.

Таким образом, область определения функции ( y = \sqrt{x - x^2} ) включает все значения ( x ) из интервала ([0, 1]).

Итак, область определения функции ( y = \sqrt{x - x^2} ) — это отрезок ([0, 1]).