Найдите область определения дроби: а) 2/5c-c^2 б) 5c/c^2+1

а) Область определения дроби 2/5c-c^2: c ≠ 0, c ≠ 5/2 б) Область определения дроби 5c/c^2+1: c ≠ 0

а) Для нахождения области определения дроби 2/5c-c^2 необходимо найти значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен 5c-c^2. Значит, нам нужно решить уравнение 5c-c^2 ≠ 0. Преобразуем его к виду c(5-c) ≠ 0. Получаем два возможных варианта: c ≠ 0 и c ≠ 5. Таким образом, область определения дроби 2/5c-c^2 составляет множество всех действительных чисел, кроме 0 и 5.

б) Для нахождения области определения дроби 5c/c^2+1 снова необходимо найти значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю. Знаменатель в данном случае равен c^2+1. Уравнение c^2+1 ≠ 0 не имеет решений в действительных числах, так как c^2 ≥ 0 для любого c. Поэтому область определения данной дроби составляет множество всех действительных чисел.

Для нахождения области определения дроби необходимо определить, при каких значениях переменной знаменатель не равен нулю. Если знаменатель дроби равен нулю, то дробь становится неопределенной. Рассмотрим каждый пункт по отдельности:

а) Дробь (\frac{2}{5c - c^2})

Для нахождения области определения этой дроби необходимо решить неравенство (5c - c^2 \neq 0).

1. Преобразуем выражение (5c - c^2 \neq 0) в стандартный вид квадратного уравнения: [ -c^2 + 5c \neq 0 ]

2. Вынесем общий множитель (c) за скобки: [ c(-c + 5) \neq 0 ]

3. Уравнение (c(-c + 5) = 0) имеет два корня: [ c = 0 \quad \text{или} \quad -c + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad c = 5 ]

Следовательно, знаменатель равен нулю при (c = 0) и (c = 5). Для остальных значений (c) знаменатель не будет равен нулю.

Таким образом, область определения дроби (\frac{2}{5c - c^2}) исключает значения (c = 0) и (c = 5): [ D_{a} = {c \in \mathbb{R} \mid c \neq 0 \text{ и } c \neq 5} ]

б) Дробь (\frac{5c}{c^2 + 1})

Для нахождения области определения этой дроби необходимо решить неравенство (c^2 + 1 \neq 0).

1. Рассмотрим выражение (c^2 + 1). Это квадратный многочлен, который всегда положителен, так как квадрат любого числа неотрицателен, и к нему добавляется 1: [ c^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad c^2 + 1 > 0 ]

Поскольку (c^2 + 1) всегда положительно для всех вещественных чисел (c), знаменатель никогда не равен нулю.

Таким образом, область определения дроби (\frac{5c}{c^2 + 1}) включает все вещественные числа: [ D_{b} = \mathbb{R} ]

Итоги:

• Область определения дроби (\frac{2}{5c - c^2}): (D_{a} = {c \in \mathbb{R} \mid c \neq 0 \text{ и } c \neq 5}).
• Область определения дроби (\frac{5c}{c^2 + 1}): (D_{b} = \mathbb{R}).