Найдите наименьшее значении функции y = 5 sin x + (24/π)·x + 6 на отрезке [−5π/6;0]

Для нахождения наименьшего значения функции y = 5 sin x + (24/π)·x + 6 на отрезке [−5π/6;0] необходимо применить метод нахождения экстремумов функции.

Сначала найдем производную данной функции: y' = 5 cos x + 24/π

Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 5 cos x + 24/π = 0 cos x = -24/5π x = arccos(-24/5π)

Однако, данная точка не принадлежит отрезку [-5π/6;0], значит, нужно также проверить значения функции на концах отрезка: y(-5π/6) = 5 sin(-5π/6) + (24/π)·(-5π/6) + 6 y(-5π/6) = -5/2 - 20 + 6 y(-5π/6) = -5/2 - 14

y(0) = 5 sin(0) + (24/π)·0 + 6 y(0) = 0 + 0 + 6 y(0) = 6

Таким образом, наименьшее значение функции y = 5 sin x + (24/π)·x + 6 на отрезке [-5π/6;0] равно -5/2 - 14.

Наименьшее значение функции на отрезке [-5π/6;0] равно -2.

Для нахождения наименьшего значения функции ( y = 5 \sin x + \frac{24}{\pi} x + 6 ) на заданном отрезке ([-5\pi/6; 0]) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции для определения критических точек, где может достигаться минимум или максимум: [ y' = 5 \cos x + \frac{24}{\pi}. ]

2. Решим уравнение ( y' = 0 ) для нахождения стационарных точек: [ 5 \cos x + \frac{24}{\pi} = 0 \implies \cos x = -\frac{24}{5\pi}. ] Поскольку (\frac{24}{5\pi} \approx 1.53) что больше 1, косинус такого значения не принимает, и уравнение не имеет решений на всем множестве действительных чисел. Следовательно, нет стационарных точек на интервале ((-5\pi/6, 0)).

3. Исследуем значения функции на концах отрезка:

   • При ( x = -5\pi/6 ): [ y(-5\pi/6) = 5 \sin(-5\pi/6) + \frac{24}{\pi} \left(-\frac{5\pi}{6}\right) + 6 = 5 \left(-\frac{1}{2}\right) - 20 + 6 = -2.5 - 20 + 6 = -16.5. ]
   • При ( x = 0 ): [ y(0) = 5 \sin(0) + \frac{24}{\pi} \cdot 0 + 6 = 0 + 0 + 6 = 6. ]

4. Определение наименьшего значения: Поскольку производная ( y' = 5 \cos x + \frac{24}{\pi} ) положительна на интервале ((-5\pi/6, 0)) (так как ( \cos x ) не принимает значение, чтобы сделать сумму отрицательной), функция возрастает на этом интервале. Таким образом, наименьшее значение функции достигается в точке ( x = -5\pi/6 ) и равно (-16.5).

Итак, наименьшее значение функции ( y = 5 \sin x + \frac{24}{\pi} x + 6 ) на отрезке ([-5\pi/6; 0]) равно (-16.5).