Найдите наименьшее значение функции y = x³ +12x² + 15 на отрезке [-2 ; 2 ]

Чтобы найти наименьшее значение функции ( y = x^3 + 12x^2 + 15 ) на отрезке ([-2; 2]), следует выполнить несколько шагов:

1. Найдите критические точки функции внутри отрезка.
2. Проверьте значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
3. Сравните все полученные значения, чтобы определить наименьшее.

Шаг 1: Найдите критические точки

Для начала найдём производную функции ( y ): [ y = x^3 + 12x^2 + 15 ] [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 12x^2 + 15) ] [ y' = 3x^2 + 24x ]

Решим уравнение ( y' = 0 ) для поиска критических точек: [ 3x^2 + 24x = 0 ] [ 3x(x + 8) = 0 ] [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -8 ]

Поскольку ( x = -8 ) не принадлежит отрезку ([-2; 2]), будем рассматривать только ( x = 0 ).

Шаг 2: Проверьте значения функции в критических точках и на концах отрезка

Теперь вычислим значения функции ( y = x^3 + 12x^2 + 15 ) в критической точке и на концах отрезка:

• В точке ( x = -2 ): [ y(-2) = (-2)^3 + 12(-2)^2 + 15 ] [ y(-2) = -8 + 12 \cdot 4 + 15 ] [ y(-2) = -8 + 48 + 15 ] [ y(-2) = 55 ]

• В точке ( x = 0 ): [ y(0) = 0^3 + 12 \cdot 0^2 + 15 ] [ y(0) = 15 ]

• В точке ( x = 2 ): [ y(2) = 2^3 + 12 \cdot 2^2 + 15 ] [ y(2) = 8 + 12 \cdot 4 + 15 ] [ y(2) = 8 + 48 + 15 ] [ y(2) = 71 ]

Шаг 3: Сравните все полученные значения

Теперь сравним значения функции в точках ( x = -2 ), ( x = 0 ), и ( x = 2 ):

• ( y(-2) = 55 )
• ( y(0) = 15 )
• ( y(2) = 71 )

Наименьшее значение среди этих значений — это ( y(0) = 15 ).

Ответ

Наименьшее значение функции ( y = x^3 + 12x^2 + 15 ) на отрезке ([-2; 2]) равно 15, и это значение достигается в точке ( x = 0 ).

Наименьшее значение функции y = x³ + 12x² + 15 на отрезке [-2; 2] равно -1.

Для нахождения наименьшего значения функции y = x³ + 12x² + 15 на отрезке [-2;2] необходимо проанализировать её поведение на этом отрезке. Для начала найдем производную данной функции:

y' = 3x² + 24x

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

3x² + 24x = 0

Вынесем общий множитель:

3x(x + 8) = 0

Таким образом, получаем две критические точки: x = 0 и x = -8. Поскольку отрезок [-2;2] не содержит точки x = -8, остается рассмотреть только точку x = 0 и граничные точки -2 и 2.

Вычислим значения функции в точках -2, 0 и 2:

y(-2) = (-2)³ + 12(-2)² + 15 = -8 + 48 + 15 = 55 y(0) = 0³ + 120² + 15 = 15 y(2) = 2³ + 12*2² + 15 = 8 + 48 + 15 = 71

Таким образом, наименьшее значение функции y = x³ + 12x² + 15 на отрезке [-2;2] равно 15, и достигается при x = 0.