Найдите наименьшее значение функции 1+5√х2+9 и определите ,при каких значениях х оно достигается.

Для того чтобы найти наименьшее значение функции ( f(x) = 1 + 5\sqrt{x^2 + 9} ) и определить, при каких значениях ( x ) оно достигается, рассмотрим шаги решения.

1. Анализ функции:

   Функция ( f(x) = 1 + 5\sqrt{x^2 + 9} ) состоит из двух частей:

   • Постоянный член ( 1 ).
   • Член ( 5\sqrt{x^2 + 9} ), который зависит от ( x ).

2. Исследование выражения под корнем:

   Поскольку ( x^2 ) всегда неотрицательно, а добавление 9 делает выражение ( x^2 + 9 ) положительным для всех ( x ). Следовательно, подкоренное выражение ( \sqrt{x^2 + 9} ) определено для всех вещественных ( x ).

3. Поведение функции ( \sqrt{x^2 + 9} ):

   Рассмотрим функцию ( g(x) = \sqrt{x^2 + 9} ):

   • ( g(x) ) достигает своего минимума, когда ( x^2 + 9 ) минимально.
   • Минимальное значение ( x^2 ) – это 0 (когда ( x = 0 )).
   • Тогда ( g(x) ) принимает минимальное значение ( \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3 ).

4. Наименьшее значение всей функции:

   Подставим минимальное значение ( g(x) ) в исходную функцию: [ f(x) = 1 + 5 \cdot \min(\sqrt{x^2 + 9}) = 1 + 5 \cdot 3 = 1 + 15 = 16 ]

5. Значения ( x ), при которых достигается минимум:

   Мы уже выяснили, что ( g(x) ) достигает своего минимума при ( x = 0 ). Следовательно, ( f(x) ) также принимает своё наименьшее значение при ( x = 0 ).

Таким образом, наименьшее значение функции ( f(x) = 1 + 5\sqrt{x^2 + 9} ) равно 16, и оно достигается при ( x = 0 ).

Для нахождения наименьшего значения функции 1 + 5√x^2 + 9 необходимо найти минимум функции. Для этого можно воспользоваться производной функции и приравнять ее к нулю.

Сначала найдем производную функции: f'(x) = d/dx (1 + 5√x^2 + 9) = 0 + 5(1/2)(2√x) = 5√x

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения х: 5√x = 0 √x = 0 x = 0

Таким образом, минимальное значение функции достигается при x = 0.

Подставив x = 0 обратно в исходную функцию, получим: 1 + 5√(0)^2 + 9 = 1 + 5*0 + 9 = 1 + 0 + 9 = 10

Итак, наименьшее значение функции равно 10 и достигается при x = 0.