Найдите наименьшее значение функции 1+5√х2+9 и определите ,при каких значениях х оно достигается.

Для того чтобы найти наименьшее значение функции $f(x$ = 1 + 5\sqrt{x^2 + 9} ) и определить, при каких значениях $x$ оно достигается, рассмотрим шаги решения.

1. Анализ функции:

   Функция $f(x$ = 1 + 5\sqrt{x^2 + 9} ) состоит из двух частей:

   • Постоянный член $1$.
   • Член $5\sqrt{x^2+9}$, который зависит от $x$.

2. Исследование выражения под корнем:

   Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно, а добавление 9 делает выражение $x^2+9$ положительным для всех $x$. Следовательно, подкоренное выражение $\sqrt{x^2+9}$ определено для всех вещественных $x$.

3. Поведение функции $\sqrt{x^2+9}$:

   Рассмотрим функцию $g(x$ = \sqrt{x^2 + 9} ):

   • $g(x$ ) достигает своего минимума, когда $x^2+9$ минимально.
   • Минимальное значение $x^2$ – это 0 $когда(x=0$).
   • Тогда $g(x$ ) принимает минимальное значение $\sqrt{0+9}=\sqrt{9}=3$.

4. Наименьшее значение всей функции:

   Подставим минимальное значение $g(x$ ) в исходную функцию: $f(x)=1+5\cdot min(\sqrt{x^2+9})=1+5\cdot 3=1+15=16$

5. Значения $x$, при которых достигается минимум:

   Мы уже выяснили, что $g(x$ ) достигает своего минимума при $x=0$. Следовательно, $f(x$ ) также принимает своё наименьшее значение при $x=0$.

Таким образом, наименьшее значение функции $f(x$ = 1 + 5\sqrt{x^2 + 9} ) равно 16, и оно достигается при $x=0$.

Для нахождения наименьшего значения функции 1 + 5√x^2 + 9 необходимо найти минимум функции. Для этого можно воспользоваться производной функции и приравнять ее к нулю.

Сначала найдем производную функции: f'$x$ = d/dx $1+5\surd x^2+9$ = 0 + 5$1/2$$2\surd x$ = 5√x

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения х: 5√x = 0 √x = 0 x = 0

Таким образом, минимальное значение функции достигается при x = 0.

Подставив x = 0 обратно в исходную функцию, получим: 1 + 5√$0$^2 + 9 = 1 + 5*0 + 9 = 1 + 0 + 9 = 10

Итак, наименьшее значение функции равно 10 и достигается при x = 0.