Найдите наименьшее значение функции 1+5√х2+9 и определите ,при каких значениях х оно достигается.
Найдите наименьшее значение функции 1+5√х2+9 и определите ,при каких значениях х оно достигается.
Для того чтобы найти наименьшее значение функции ( f(x) = 1 + 5\sqrt{x^2 + 9} ) и определить, при каких значениях ( x ) оно достигается, рассмотрим шаги решения.
Анализ функции:
Функция ( f(x) = 1 + 5\sqrt{x^2 + 9} ) состоит из двух частей:
Исследование выражения под корнем:
Поскольку ( x^2 ) всегда неотрицательно, а добавление 9 делает выражение ( x^2 + 9 ) положительным для всех ( x ). Следовательно, подкоренное выражение ( \sqrt{x^2 + 9} ) определено для всех вещественных ( x ).
Поведение функции ( \sqrt{x^2 + 9} ):
Рассмотрим функцию ( g(x) = \sqrt{x^2 + 9} ):
Наименьшее значение всей функции:
Подставим минимальное значение ( g(x) ) в исходную функцию: [ f(x) = 1 + 5 \cdot \min(\sqrt{x^2 + 9}) = 1 + 5 \cdot 3 = 1 + 15 = 16 ]
Значения ( x ), при которых достигается минимум:
Мы уже выяснили, что ( g(x) ) достигает своего минимума при ( x = 0 ). Следовательно, ( f(x) ) также принимает своё наименьшее значение при ( x = 0 ).
Таким образом, наименьшее значение функции ( f(x) = 1 + 5\sqrt{x^2 + 9} ) равно 16, и оно достигается при ( x = 0 ).
Для нахождения наименьшего значения функции 1 + 5√x^2 + 9 необходимо найти минимум функции. Для этого можно воспользоваться производной функции и приравнять ее к нулю.
Сначала найдем производную функции: f'(x) = d/dx (1 + 5√x^2 + 9) = 0 + 5(1/2)(2√x) = 5√x
Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения х: 5√x = 0 √x = 0 x = 0
Таким образом, минимальное значение функции достигается при x = 0.
Подставив x = 0 обратно в исходную функцию, получим: 1 + 5√(0)^2 + 9 = 1 + 5*0 + 9 = 1 + 0 + 9 = 10
Итак, наименьшее значение функции равно 10 и достигается при x = 0.
