Найдите наименьшее число, записываемое только при помощи двоек, единиц и нулей, которое бы делилось...

Для того чтобы найти наименьшее число, записываемое только при помощи двоек, единиц и нулей, которое бы делилось без остатка на 225, нам необходимо найти наименьшее общее кратное чисел 225 и 10. Чтобы число делилось на 225, оно должно быть кратно как 225, так и 2 (поскольку используются только двойки, единицы и нули). Наименьшее общее кратное чисел 225 и 2 равно 450. Таким образом, наименьшее число, записываемое только при помощи двоек, единиц и нулей, которое бы делилось без остатка на 225, равно 450.

Чтобы найти наименьшее число, записываемое только при помощи цифр 2, 1 и 0, которое делится на 225, нужно учитывать условия делимости на составляющие числа 225. Число 225 можно разложить на простые множители: ( 225 = 15 \times 15 = 3^2 \times 5^2 ). Таким образом, число должно быть кратно и 9, и 25.

1. Проверка на кратность 9: Для того чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна быть кратна 9.

2. Проверка на кратность 25: Для того чтобы число делилось на 25, последние две цифры числа должны образовывать число, которое делится на 25. Возможные такие числа: 00, 25, 50, 75.

Так как мы можем использовать только цифры 2, 1 и 0, единственная подходящая комбинация для последних двух цифр — это 00.

Теперь нам нужно найти наименьшее число, заканчивающееся на 00, сумма цифр которого делится на 9.

Подбор числа:

• Если число заканчивается на 00, то его сумма должна быть кратна 9.
• Рассмотрим возможные суммы цифр числа, которые делятся на 9: 9, 18, 27 и т.д.

Попробуем минимальные суммы, начиная с 9:

Сумма цифр = 9:

• Нам нужно подобрать цифры 2, 1 и 0 так, чтобы их сумма была равна 9 и число заканчивалось на 00.
• Возможное число: 1111111200 (т.к. 1+1+1+1+1+1+1+2+0+0 = 9).

Проверим число 1111111200:

• Оно заканчивается на 00.
• Сумма цифр равна 9.
• Проверим делимость на 25: число заканчивается на 00, значит делится на 25.
• Проверим делимость на 9: сумма цифр равна 9, значит делится на 9.

Таким образом, число 1111111200 удовлетворяет всем условиям. Проверим, можем ли найти меньшее число, сумма цифр которого также будет равна 9 и которое заканчивается на 00.

Проверка других возможных чисел:

• Попробуем уменьшить количество цифр 1 и увеличить количество цифр 2 или 0, чтобы сумма все еще была равна 9:
  • Например, если заменить одну 1 на 2:
    • 211111100 (2+1+1+1+1+1+1+0+0 = 8, не подходит).
  • Если использовать большее количество цифр 2:
    • 222000 (2+2+2+0+0+0 = 6, не подходит).

Ни одно из других возможных чисел, состоящих из цифр 2, 1 и 0 и заканчивающихся на 00, не дает суммы цифр равной 9.

Итог:

Наименьшее число, записываемое только при помощи цифр 2, 1 и 0, которое делится на 225, — это 1111111200.

Для того чтобы число делилось на 225, оно должно быть кратно и 25, и 9.

Кратность 25: число должно заканчиваться на два нуля, то есть число делится на 100.

Кратность 9: сумма цифр числа должна быть кратна 9.

Самое маленькое число, удовлетворяющее условиям, - 200.