Найдите наибольшее значение функции y=(x-2)^2*e^x на отрезке [-5;1] Найдите наименьшее значение функции...

1. Для нахождения наибольшего значения функции y=(x-2)^2*e^x на отрезке [-5;1] нужно найти критические точки функции внутри этого отрезка. Для этого найдем производную функции y по переменной x: y' = 2(x-2)e^x + (x-2)^2e^x = (2x-4)e^x + (x^2 - 4x + 4)e^x = (x^2 - 2x)e^x

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: (x^2 - 2x)e^x = 0 x(x-2)e^x = 0 x=0, x=2

Теперь найдем значения функции в найденных точках и на концах отрезка: y(-5) = ( -5 - 2 ) ^ 2 e ^ -5 = 49 e ^ -5 y(1) = ( 1 - 2 ) ^ 2 e ^ 1 = e y(0) = ( 0 - 2 ) ^ 2 e ^ 0 = 4 y(2) = ( 2 - 2 ) ^ 2 * e ^ 2 = 0

Сравниваем найденные значения и находим наибольшее из них - y(1) = e.

1. Для нахождения наименьшего значения функции y=cosx+18/П*x+7 на отрезке [-2П/3;0] также найдем критические точки функции внутри этого отрезка. Для этого найдем производную функции y по переменной x: y' = -sinx + 18/П

Приравняем производную к нулю и найдем критическую точку: -sinx + 18/П = 0 sinx = 18/П x = arcsin(18/П)

Теперь найдем значения функции в найденной точке и на концах отрезка: y(-2П/3) = cos(-2П/3) + 18/П (-2П/3) + 7 y(0) = cos(0) + 0 + 7 y(arcsin(18/П)) = cos(arcsin(18/П)) + 18/П arcsin(18/П) + 7

Сравниваем найденные значения и находим наименьшее из них.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках, мы воспользуемся методом нахождения экстремумов функций, который включает в себя нахождение производных и анализ критических точек.

Задача 1: Найти наибольшее значение функции ( y = (x-2)^2 e^x ) на отрезке ([-5, 1]).

1. Найдём производную функции:

   [ y = (x-2)^2 e^x ]

   Применим правило произведения и цепное правило:

   [ y' = [(x-2)^2]' \cdot e^x + (x-2)^2 \cdot (e^x)' ]

   [ [(x-2)^2]' = 2(x-2) ]

   [ y' = 2(x-2) e^x + (x-2)^2 e^x ]

   [ y' = e^x (2(x-2) + (x-2)^2) ]

   [ y' = e^x (2x - 4 + x^2 - 4x + 4) ]

   [ y' = e^x (x^2 - 2x) ]

2. Найдём критические точки:

   ( y' = 0 \Rightarrow e^x (x^2 - 2x) = 0 )

   ( e^x \neq 0 ) для всех ( x ), поэтому:

   [ x^2 - 2x = 0 ]

   [ x(x-2) = 0 ]

   [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 ]

   Из этих значений только ( x = 0 ) попадает в отрезок ([-5, 1]).

3. Проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   [ y(-5) = (-5-2)^2 e^{-5} = 49 e^{-5} ]

   [ y(1) = (1-2)^2 e^1 = e ]

   [ y(0) = (0-2)^2 e^0 = 4 ]

4. Сравним значения:

   ( y(-5) = 49 e^{-5} \approx 0.007 )

   ( y(1) = e \approx 2.718 )

   ( y(0) = 4 )

   Наибольшее значение на отрезке ([-5, 1]) равно 4 при ( x = 0 ).

Задача 2: Найти наименьшее значение функции ( y = \cos x + \frac{18}{\pi} x + 7 ) на отрезке ([-2\pi/3, 0]).

1. Найдём производную функции:

   [ y = \cos x + \frac{18}{\pi} x + 7 ]

   [ y' = -\sin x + \frac{18}{\pi} ]

2. Найдём критические точки:

   ( y' = 0 \Rightarrow -\sin x + \frac{18}{\pi} = 0 )

   [ \sin x = \frac{18}{\pi} ]

   Однако, (\frac{18}{\pi} \approx 5.73), что превышает допустимый диапазон значений (\sin x), поскольку (|\sin x| \leq 1). Значит, уравнение не имеет решений на заданном отрезке.

3. Проверим значения функции на концах отрезка:

   [ y(-2\pi/3) = \cos(-2\pi/3) + \frac{18}{\pi}(-2\pi/3) + 7 ]

   [ \cos(-2\pi/3) = -1/2 ]

   [ y(-2\pi/3) = -\frac{1}{2} - 12 + 7 = -5.5 ]

   [ y(0) = \cos(0) + \frac{18}{\pi}(0) + 7 = 1 + 7 = 8 ]

4. Сравним значения:

   Наименьшее значение на отрезке ([-2\pi/3, 0]) равно (-5.5) при ( x = -2\pi/3 ).