Найдите наибольшее значение функции y=(4x^2+49)/x на отрезке [-4;-1]

Чтобы найти наибольшее значение функции ( y = \frac{4x^2 + 49}{x} ) на отрезке ([-4, -1]), начнем с упрощения функции. Разделим числитель на ( x ):

[ y = 4x + \frac{49}{x} ]

Теперь определим производную функции, чтобы найти критические точки:

[ y' = 4 - \frac{49}{x^2} ]

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

[ 4 - \frac{49}{x^2} = 0 ]

Решим уравнение:

[ \frac{49}{x^2} = 4 ] [ 49 = 4x^2 ] [ x^2 = \frac{49}{4} ] [ x = \pm \frac{7}{2} ]

Однако ( x = \frac{7}{2} ) не входит в рассматриваемый отрезок ([-4, -1]). Следовательно, мы должны проверить значения функции на границах отрезка.

Теперь вычислим ( y ) на границах:

1. Для ( x = -4 ):

[ y(-4) = 4(-4) + \frac{49}{-4} = -16 - \frac{49}{4} = -16 - 12.25 = -28.25 ]

1. Для ( x = -1 ):

[ y(-1) = 4(-1) + \frac{49}{-1} = -4 - 49 = -53 ]

Теперь сравним значения на границах отрезка:

• ( y(-4) = -28.25 )
• ( y(-1) = -53 )

Наибольшее значение функции на отрезке ([-4, -1]) соответствует значению ( y(-4) ):

[ \text{Наибольшее значение } y \text{ на отрезке } [-4, -1] = -28.25 ]

Для нахождения наибольшего значения функции ( y = \frac{4x^2 + 49}{x} ) на заданном отрезке ([-4; -1]), необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Проверка области определения

Функция ( y = \frac{4x^2 + 49}{x} ) определена для всех ( x \neq 0 ). На отрезке ([-4; -1]) ( x \neq 0 ) (здесь ( x ) не равен нулю), поэтому функция определена на всём этом отрезке и можно переходить к её исследованию.

Шаг 2: Находим производную функции

Для поиска экстремумов нужно найти производную функции.

[ y = \frac{4x^2 + 49}{x} = 4x + \frac{49}{x}, ]

где мы разложили дробь на два слагаемых. Теперь вычислим производную ( y' ):

[ y' = \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{49}{x}\right). ]

Первая производная:

[ \frac{d}{dx}(4x) = 4. ]

Вторая производная:

[ \frac{d}{dx}\left(\frac{49}{x}\right) = -\frac{49}{x^2}. ]

Таким образом, производная функции:

[ y' = 4 - \frac{49}{x^2}. ]

Шаг 3: Находим критические точки

Критические точки находятся из уравнения ( y' = 0 ):

[ 4 - \frac{49}{x^2} = 0. ]

Решим это уравнение:

[ \frac{49}{x^2} = 4. ]

Умножим обе части на ( x^2 ) (учитывая, что ( x \neq 0 )):

[ 49 = 4x^2. ]

Поделим обе стороны на 4:

[ x^2 = \frac{49}{4}. ]

Найдём ( x ), извлекая корень:

[ x = \pm \frac{7}{2}. ]

Шаг 4: Проверяем принадлежность критических точек отрезку

На заданном отрезке ([-4; -1]) из двух критических точек ( x = \pm \frac{7}{2} = \pm 3.5 ) только ( x = -3.5 ) принадлежит отрезку. Таким образом, будем анализировать эту точку вместе с концами отрезка ( x = -4 ) и ( x = -1 ).

Шаг 5: Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка

Функция ( y(x) = \frac{4x^2 + 49}{x} ). Вычислим значения:

1. В точке ( x = -4 ):

[ y(-4) = \frac{4(-4)^2 + 49}{-4} = \frac{4 \cdot 16 + 49}{-4} = \frac{64 + 49}{-4} = \frac{113}{-4} = -28.25. ]

1. В критической точке ( x = -3.5 ):

[ y(-3.5) = \frac{4(-3.5)^2 + 49}{-3.5} = \frac{4 \cdot 12.25 + 49}{-3.5} = \frac{49 + 49}{-3.5} = \frac{98}{-3.5} = -28. ]

1. В точке ( x = -1 ):

[ y(-1) = \frac{4(-1)^2 + 49}{-1} = \frac{4 \cdot 1 + 49}{-1} = \frac{4 + 49}{-1} = \frac{53}{-1} = -53. ]

Шаг 6: Сравниваем значения

На отрезке ([-4; -1]) функция ( y(x) ) принимает следующие значения:

• ( y(-4) = -28.25 ),
• ( y(-3.5) = -28 ),
• ( y(-1) = -53 ).

Наибольшее значение функции — ( y = -28 ), и оно достигается в точке ( x = -3.5 ).

Ответ:

Наибольшее значение функции на отрезке ([-4; -1]) равно ( -28 ), и оно достигается в точке ( x = -3.5 ).