Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-6x^2 на отрезке [-2;5]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции ( f(x) = x^3 - 6x^2 ) на отрезке ([-2; 5]), необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение критических точек и оценку значений функции на концах отрезка.

1. Найдем производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2) = 3x^2 - 12x ]

2. Найдем критические точки: Для этого приравняем производную к нулю: [ 3x^2 - 12x = 0 ] Вынесем общий множитель: [ 3x(x - 4) = 0 ] Отсюда получаем критические точки ( x = 0 ) и ( x = 4 ).

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку ([-2; 5]): Обе точки ( x = 0 ) и ( x = 4 ) принадлежат этому отрезку.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

   • ( f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 = -8 - 24 = -32 )
   • ( f(0) = 0^3 - 6 \times 0^2 = 0 )
   • ( f(4) = 4^3 - 6 \times 4^2 = 64 - 96 = -32 )
   • ( f(5) = 5^3 - 6 \times 5^2 = 125 - 150 = -25 )

5. Определим наибольшее и наименьшее значения функции:

   • Наименьшее значение: (-32) (достигается в точках ( x = -2 ) и ( x = 4 )).
   • Наибольшее значение: (0) (достигается в точке ( x = 0 )).

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке ([-2; 5]) равно 0, а наименьшее значение равно (-32).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x)=x^3-6x^2 на отрезке [-2;5] необходимо найти экстремумы функции на данном отрезке.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 12x

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 3x^2 - 12x = 0 3x(x - 4) = 0 x1 = 0, x2 = 4

3. Проверим значения функции в найденных точках и на концах отрезка [-2;5]: f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 = -8 + 24 = 16 f(0) = 0 f(4) = 4^3 - 64^2 = 64 - 96 = -32 f(5) = 5^3 - 65^2 = 125 - 150 = -25

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2;5] равно -32 и достигается в точке x=4, а наибольшее значение равно 16 и достигается в точке x=-2.