Найдите корень уравнения (1/49)^x-8=7

Для того чтобы найти корень уравнения ((\frac{1}{49})^x - 8 = 7), следуем следующим шагам:

1. Перенос слагаемых:

   Прежде всего, перенесем -8 на правую сторону уравнения:

   [ \left(\frac{1}{49}\right)^x = 15 ]

2. Преобразование основания:

   Заметим, что (\frac{1}{49}) можно выразить как (49^{-1}), а 49 — это (7^2). Следовательно:

   [ \frac{1}{49} = 49^{-1} = (7^2)^{-1} = 7^{-2} ]

   Таким образом, уравнение примет вид:

   [ (7^{-2})^x = 15 ]

3. Использование свойств степеней:

   Применим свойство степеней, согласно которому ((a^m)^n = a^{m \cdot n}):

   [ 7^{-2x} = 15 ]

4. Переход к логарифмам:

   Чтобы решить уравнение (7^{-2x} = 15), возьмем логарифмы по основанию 7 с обеих сторон:

   [ \log_7(7^{-2x}) = \log_7(15) ]

   Используя свойство логарифмов, по которому (\log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a)), получаем:

   [ -2x \cdot \log_7(7) = \log_7(15) ]

   Поскольку (\log_7(7) = 1), уравнение упрощается до:

   [ -2x = \log_7(15) ]

5. Решение относительно x:

   Выразим (x):

   [ x = -\frac{\log_7(15)}{2} ]

6. Численное значение:

   Для численного решения воспользуемся натуральными или десятичными логарифмами:

   [ \log7(15) = \frac{\log{10}(15)}{\log_{10}(7)} ]

   Подставляя приближенные значения логарифмов (например, (\log{10}(15) \approx 1.1761) и (\log{10}(7) \approx 0.8451)), получаем:

   [ \log_7(15) \approx \frac{1.1761}{0.8451} \approx 1.391 ]

   Таким образом, значение (x) будет:

   [ x \approx -\frac{1.391}{2} \approx -0.6955 ]

Ответ: (x \approx -0.6955).

Для нахождения корня уравнения (1/49)^x-8=7 необходимо преобразовать его к более удобному виду.

Сначала перепишем уравнение в виде (1/49)^x = 15. Теперь можно записать (1/49)^x как (7^-2)^x = 15. Далее преобразуем это выражение к виду 7^(-2x) = 15.

Теперь возьмем логарифм от обеих сторон уравнения: log(7^(-2x)) = log(15). По свойствам логарифмов, логарифм от числа, возведенного в степень, равен произведению степени на логарифм числа: -2x*log(7) = log(15).

Теперь найдем x, деля обе части уравнения на -2log(7): x = log(15) / (-2log(7)). Подставим значения логарифмов в это выражение и получим значение x.

Таким образом, корень уравнения (1/49)^x-8=7 равен x = log(15) / (-2*log(7)).