Найдите функцию обратную данной y=2/x+4

Чтобы найти обратную функцию для данной функции ( y = \frac{2}{x} + 4 ), нужно выполнить следующие шаги:

1. Поменять местами ( x ) и ( y ):

Чтобы найти обратную функцию, мы меняем местами независимую переменную ( x ) и зависимую переменную ( y ). Это потому, что в обратной функции ( y ) становится входной переменной, а ( x ) становится выходной.

Итак, у нас получается: [ x = \frac{2}{y} + 4 ]

2. Выразить ( y ) из этого уравнения:

Теперь нужно выразить ( y ) через ( x ). Для этого мы решим уравнение относительно ( y ).

Шаг 1. Выразим дробь (\frac{2}{y}):

[ x - 4 = \frac{2}{y} ]

Шаг 2. Возьмем обратную величину:

[ y = \frac{2}{x - 4} ]

3. Записать обратную функцию:

Итак, обратная функция имеет вид: [ y = \frac{2}{x - 4} ]

4. Проверка:

Чтобы проверить, что функции действительно обратны, нужно убедиться, что если мы подставим одну функцию в другую, то получим обратно ( x ). Проверим:

1. Подставим ( y = \frac{2}{x - 4} ) в ( y = \frac{2}{x} + 4 ): Если ( x ) в первой функции пройдет преобразование и вернет исходное значение ( x ), то всё правильно.

[ f(y) = f\left(\frac{2}{x - 4}\right) = \frac{2}{\frac{2}{x - 4}} + 4 = x - 4 + 4 = x ]

2. Подставим ( y = \frac{2}{x} + 4 ) в ( y = \frac{2}{x - 4} ): [ f^{-1}(y) = f^{-1}\left(\frac{2}{x} + 4\right) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 4 - 4} = x ]

Проверка выполнена.

Итог:

Обратная функция для ( y = \frac{2}{x} + 4 ) — это: [ y = \frac{2}{x - 4} ]

Чтобы найти обратную функцию для данной функции ( y = \frac{2}{x} + 4 ), следуем следующей последовательности шагов.

1. Запишите уравнение: Начнем с уравнения ( y = \frac{2}{x} + 4 ).

2. Изолируйте переменную ( x ): Нам нужно выразить ( x ) через ( y ). Для этого сначала вычтем 4 из обеих сторон: [ y - 4 = \frac{2}{x} ]

3. Перепишите уравнение: Умножим обе стороны на ( x ) (предполагая, что ( x \neq 0 )): [ x(y - 4) = 2 ]

4. Решите уравнение относительно ( x ): Теперь выразим ( x ): [ x = \frac{2}{y - 4} ]

5. Запишите обратную функцию: Теперь мы получили выражение для ( x ) через ( y ). Обратная функция будет записана как: [ f^{-1}(y) = \frac{2}{y - 4} ] Для удобства можно обозначить ( y ) как ( x ): [ f^{-1}(x) = \frac{2}{x - 4} ]

Таким образом, обратная функция к ( y = \frac{2}{x} + 4 ) — это ( f^{-1}(x) = \frac{2}{x - 4} ).

Проверка

Для проверки правильности вычислений можно подставить ( f^{-1}(x) ) в исходную функцию и убедиться, что мы получаем обратно ( x ):

1. Подставим ( f^{-1}(x) ) в ( f(x) ): [ f\left(f^{-1}(x)\right) = f\left(\frac{2}{x - 4}\right) = \frac{2}{\frac{2}{x - 4}} + 4 ] Упростим это выражение: [ = \frac{2(x - 4)}{2} + 4 = x - 4 + 4 = x ]

2. Теперь проверим обратное: [ f^{-1}(f(x)) = f^{-1}\left(\frac{2}{x} + 4\right) = \frac{2}{\left(\frac{2}{x} + 4\right) - 4} = \frac{2}{\frac{2}{x}} = x ]

Таким образом, обе проверки подтверждают, что функции действительно обратные друг другу.

Ответ

Обратная функция к данной ( y = \frac{2}{x} + 4 ) — это: [ f^{-1}(x) = \frac{2}{x - 4} ]