Найдите абсциссу точки графика функции y=x^3/3-3x^2+10x-11, в которой касательная наклонена к оси x под углом 45 градусов.
Найдите абсциссу точки графика функции y=x^3/3-3x^2+10x-11, в которой касательная наклонена к оси x под углом 45 градусов.
Абсцисса точки равна 1.
Чтобы найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции наклонена к оси ( x ) под углом 45 градусов, нужно сначала понять, что это условие означает для производной функции.
Касательная наклонена под углом (\theta) к оси ( x ), если её угловой коэффициент равен (\tan(\theta)). В данном случае, угол (\theta = 45^\circ), поэтому угловой коэффициент равен (\tan(45^\circ) = 1).
Таким образом, мы ищем такую точку ( x ), где значение производной функции равно 1.
Найдите производную функции: [ y = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 11 ] Производная ( y' ) равна: [ y' = \left(\frac{x^3}{3}\right)' - (3x^2)' + (10x)' - 11' ] [ y' = x^2 - 6x + 10 ]
Установите, что производная равна 1: [ x^2 - 6x + 10 = 1 ]
Решите уравнение: [ x^2 - 6x + 10 - 1 = 0 ] [ x^2 - 6x + 9 = 0 ]
Это можно записать как: [ (x - 3)^2 = 0 ]
Найдите корень уравнения: [ x - 3 = 0 \implies x = 3 ]
Таким образом, абсцисса точки, в которой касательная к графику функции наклонена к оси ( x ) под углом 45 градусов, равна ( x = 3 ).
Для того чтобы найти абсциссу точки графика функции, в которой касательная наклонена к оси x под углом 45 градусов, нужно выполнить следующие шаги:
Найдем производную функции y=x^3/3-3x^2+10x-11: y' = x^2 - 6x + 10
Найдем угловой коэффициент касательной в точке (x, y): k = y' = x^2 - 6x + 10
Угол наклона касательной к оси x равен 45 градусов, что соответствует тангенсу угла наклона k: tan(45) = 1 = k
Решим уравнение x^2 - 6x + 10 = 1: x^2 - 6x + 9 = 0 (x-3)^2 = 0 x = 3
Таким образом, абсцисса точки графика функции, в которой касательная наклонена к оси x под углом 45 градусов, равна 3.
