Найдите: а) sin альфа, если cos альфа = -1/4 б) cos альфа, если sin альфа = -2/3 в) tg альфа, если cos...

Для того чтобы найти значения тригонометрических функций, мы можем использовать основные тригонометрические тождества.

а) Найдите sin альфа, если cos альфа = -1/4.

Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 ] [ \sin^2 \alpha + \frac{1}{16} = 1 ] [ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} ] [ \sin^2 \alpha = \frac{15}{16} ] [ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} ] [ \sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{15}}{4} ]

Выбор знака зависит от квадранта, в котором находится угол альфа. Поскольку (\cos \alpha = -1/4), альфа лежит во втором или третьем квадранте. Во втором квадранте sin положителен, в третьем отрицателен.

б) Найдите cos альфа, если sin альфа = -2/3.

Аналогично используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \frac{4}{9} + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} ] [ \cos^2 \alpha = \frac{5}{9} ] [ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} ] [ \cos \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} ]

Выбор знака зависит от квадранта: если sin отрицательный, альфа может находиться в третьем или четвертом квадранте. В третьем квадранте cos также отрицателен, в четвертом положителен.

в) Найдите tg альфа, если cos альфа = -2/3.

Тангенс можно найти через синус и косинус: [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} ] Сперва найдём (\sin \alpha) через тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 ] [ \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1 ] [ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} ] [ \sin^2 \alpha = \frac{5}{9} ] [ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} ] [ \sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} ]

Теперь подставим: [ \tan \alpha = \frac{\pm\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} ] [ \tan \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{2} ]

Знак будет зависеть от того, в каком квадранте находится альфа. Если cos отрицательный, то это второй или третий квадрант. Во втором квадранте sin положителен, tg отрицателен. В третьем квадранте sin отрицателен, tg положителен.

Для решения данных задач по определению значений тригонометрических функций необходимо использовать основные тригонометрические соотношения.

а) Для нахождения sin α, если cos α = -1/4, можно воспользоваться тождеством Пифагора: sin^2 α + cos^2 α = 1. Из условия cos α = -1/4 следует, что sin^2 α + (-1/4)^2 = 1. Решив это уравнение, получим sin α = ±√(1 - 1/16). Поскольку sin α обязательно должен быть положительным в первом и втором квадрантах, то sin α = √(15/16) = √15/4.

б) Для нахождения cos α, если sin α = -2/3, также воспользуемся тождеством Пифагора: sin^2 α + cos^2 α = 1. Из условия sin α = -2/3 следует, что (-2/3)^2 + cos^2 α = 1. Решив это уравнение, получим cos α = ±√(1 - 4/9). Поскольку cos α обязательно должен быть отрицательным в третьем и четвертом квадрантах, то cos α = -√(5/9) = -√5/3.

в) Для нахождения tg α, если cos α = -2/3, воспользуемся определением тангенса как отношения синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. Из условия cos α = -2/3 следует, что sin α = ±√(1 - 4/9) = ±√5/3. Подставив значения sin α и cos α в выражение для tg α, получим tg α = (±√5/3) / (-2/3) = ∓√5/2.