Найдите 10 соsa+4 sina+15/2 sina+5 cosa+3 если tga=-2,5

Для решения данной задачи начнем с того, что нам дано значение тангенса угла ( \alpha ), ( \tan \alpha = -2,5 ). Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} ]

Исходя из этого, можно записать: [ \sin \alpha = -2,5 \cos \alpha ]

Нам нужно найти значение выражения: [ 10 \cos \alpha + 4 \sin \alpha + \frac{15}{2} \sin \alpha + 5 \cos \alpha + 3 ]

Сначала объединим похожие члены: [ (10 \cos \alpha + 5 \cos \alpha) + (4 \sin \alpha + \frac{15}{2} \sin \alpha) + 3 ] [ 15 \cos \alpha + \frac{23}{2} \sin \alpha + 3 ]

Подставим выражение ( \sin \alpha = -2,5 \cos \alpha ) в уравнение: [ 15 \cos \alpha + \frac{23}{2} (-2,5 \cos \alpha) + 3 ] [ 15 \cos \alpha - \frac{57,5}{2} \cos \alpha + 3 ] [ 15 \cos \alpha - 28,75 \cos \alpha + 3 ] [ -13,75 \cos \alpha + 3 ]

Теперь найдем значение ( \cos \alpha ). Используя идентичность ( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} ): [ 1 + (-2,5)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} ] [ 1 + 6,25 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} ] [ 7,25 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} ] [ \cos^2 \alpha = \frac{1}{7,25} ] [ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{7,25}} = \pm \frac{1}{2,693} \approx \pm 0,371 ]

Выбираем знак минус, так как ( \tan \alpha ) отрицательный, и угол ( \alpha ) находится во второй или четвертой четверти, где косинус отрицателен: [ \cos \alpha \approx -0,371 ]

Теперь подставим значение ( \cos \alpha ) в предыдущее выражение: [ -13,75 \cdot (-0,371) + 3 ] [ 5,10 + 3 ] [ 8,10 ]

Таким образом, значение выражения при ( \tan \alpha = -2,5 ) примерно равно 8,10.

Для начала рассчитаем значения sinα, cosα и tgα, используя соотношения между ними:

tgα = sinα / cosα = -2.5

cosα = 1 / sqrt(1 + tg^2α) = 1 / sqrt(1 + 6.25) = 1 / sqrt(7.25) ≈ 0.258

sinα = tgα cosα ≈ -2.5 0.258 ≈ -0.645

Теперь мы можем подставить значения sinα и cosα в выражение 10 cosα + 4 sinα + 15/2 sinα + 5 cosα + 3 и рассчитать ответ:

10 0.258 + 4 (-0.645) + 15/2 (-0.645) + 5 0.258 + 3 ≈ 2.58 - 2.58 - 4.83 + 1.29 + 3 ≈ -0.54

Итак, значение выражения равно приблизительно -0.54.