На прямой отмечены точки O, A и B так, что OA = 12 см, OB = 9 см. Найдите расстояние между серединами...

а) Пусть точка O лежит на отрезке AB. Тогда длина отрезка AB равна 12 + 9 = 21 см. Расстояние между серединами отрезков OA и OB равно половине от длины отрезка AB, то есть 21/2 = 10.5 см.

б) Пусть точка O не лежит на отрезке AB. Тогда расстояние между серединами отрезков OA и OB равно модулю разности длин отрезков OA и OB, деленной на 2. Так как середина отрезка равноудалена от его концов, то расстояние между серединами отрезков OA и OB равно |OA - OB| / 2 = |12 - 9| / 2 = 3 / 2 = 1.5 см.

Для решения задачи сначала введем обозначения и рассмотрим два случая: когда точка O лежит на отрезке AB и когда не лежит.

Случай 1: Точка O лежит на отрезке AB

В этом случае точки A и B находятся по разные стороны от точки O. Без потери общности можно считать, что точка A находится правее точки O, а точка B левее. Тогда можем задать координаты:

• O: ( x_O = 0 )
• A: ( x_A = 12 )
• B: ( x_B = -9 )

Найдем середины отрезков OA и OB:

• Середина отрезка OA: ( M_OA = \left( \frac{0 + 12}{2}, 0 \right) = (6, 0) )
• Середина отрезка OB: ( M_OB = \left( \frac{0 - 9}{2}, 0 \right) = (-4.5, 0) )

Найдем расстояние между серединами ( M_OA ) и ( M_OB ):

Расстояние на числовой оси между двумя точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) вычисляется как ( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ). В нашем случае это просто модуль разности их координат по оси x, так как y-координаты одинаковы:

[ |6 - (-4.5)| = |6 + 4.5| = 10.5 \, \text{см} ]

Случай 2: Точка O не лежит на отрезке AB

В этом случае точки A и B находятся по одну сторону от точки O. Пусть точка A находится правее точки O, а точка B также правее точки O. Тогда можем задать координаты:

• O: ( x_O = 0 )
• A: ( x_A = 12 )
• B: ( x_B = 9 )

Найдем середины отрезков OA и OB:

• Середина отрезка OA: ( M_OA = \left( \frac{0 + 12}{2}, 0 \right) = (6, 0) )
• Середина отрезка OB: ( M_OB = \left( \frac{0 + 9}{2}, 0 \right) = (4.5, 0) )

Найдем расстояние между серединами ( M_OA ) и ( M_OB ):

Расстояние на числовой оси между двумя точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) вычисляется как ( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ). В нашем случае это просто модуль разности их координат по оси x, так как y-координаты одинаковы:

[ |6 - 4.5| = 1.5 \, \text{см} ]

Вывод:

• Если точка O лежит на отрезке AB, расстояние между серединами отрезков OA и OB составляет 10.5 см.
• Если точка O не лежит на отрезке AB, расстояние между серединами отрезков OA и OB составляет 1.5 см.