Моторная лодка прошла против течения реки 117 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный...

Пусть скорость течения реки равна V км/ч. Тогда скорость лодки по течению будет равна 2 + V км/ч, а против течения - 2 - V км/ч.

По условию известно, что время в обе стороны отличается на 4 часа. Так как время равно расстояние делить на скорость, можно записать уравнение:

117 / (2 + V) = 117 / (2 - V) + 4

117(2 - V) = 117(2 + V) + 4(2 + V)(2 - V)

Решив это уравнение, получим V = 1 км/ч.

Итак, скорость течения реки равна 1 км/ч.

Для решения данной задачи воспользуемся следующим подходом:

Обозначим скорость течения реки за ( v ) км/ч. Тогда скорость лодки против течения составит ( (2 - v) ) км/ч, а по течению ( (2 + v) ) км/ч.

Так как лодка прошла одинаковое расстояние в обе стороны (117 км), можем записать уравнения для времени движения в каждом направлении. Время – это расстояние, делённое на скорость.

1. Время движения против течения: ( \frac{117}{2 - v} ) часов.
2. Время движения по течению: ( \frac{117}{2 + v} ) часов.

По условию задачи известно, что на обратный путь (по течению) затрачено на 4 часа меньше. Составим уравнение:

[ \frac{117}{2 - v} - \frac{117}{2 + v} = 4 ]

Для удобства решения приведем уравнение к общему знаменателю:

[ \frac{117(2 + v) - 117(2 - v)}{(2 - v)(2 + v)} = 4 ]

Раскроем скобки в числителе и упростим уравнение:

[ \frac{234 + 117v - 234 + 117v}{4 - v^2} = 4 ]

[ \frac{234v}{4 - v^2} = 4 ]

[ 234v = 4(4 - v^2) ]

[ 234v = 16 - 4v^2 ]

Перенесем все члены на одну сторону:

[ 4v^2 + 234v - 16 = 0 ]

Для упрощения разделим всё уравнение на 2:

[ 2v^2 + 117v - 8 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Квадратное уравнение вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) имеет корни:

[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Подставляем значения:

[ v = \frac{-117 \pm \sqrt{117^2 + 4 \cdot 2 \cdot 8}}{4} ]

[ v = \frac{-117 \pm \sqrt{13689 + 64}}{4} ]

[ v = \frac{-117 \pm \sqrt{13753}}{4} ]

Вычислим дискриминант и найдем корни. Один из корней будет нереальным (например, отрицательная скорость или скорость больше скорости лодки в стоячей воде), поэтому выберем реалистичный корень. Обычно, он будет меньше 2 км/ч (скорость лодки в неподвижной воде). Таким образом, найденный корень даст ответ, который будет являться скоростью течения реки в км/ч.