Log3(7+2x)=log3(3-2x)+2

Рассмотрим уравнение:

[ \log_3 (7 + 2x) = \log_3 (3 - 2x) + 2 ]

Для начала упростим уравнение, используя свойства логарифмов. Перенесем все логарифмы на одну сторону:

[ \log_3 (7 + 2x) - \log_3 (3 - 2x) = 2 ]

Теперь применим свойство логарифмов, которое гласит, что разность двух логарифмов равна логарифму частного:

[ \log_3 \left( \frac{7 + 2x}{3 - 2x} \right) = 2 ]

Теперь выразим логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме. Напомним, что если (\log_b a = c), то это эквивалентно (a = b^c). В нашем случае основание (b) равно 3, (a = \frac{7 + 2x}{3 - 2x}), а (c = 2):

[ \frac{7 + 2x}{3 - 2x} = 3^2 ]

Вычислим (3^2):

[ \frac{7 + 2x}{3 - 2x} = 9 ]

Теперь решим это уравнение на предмет (x). Умножим обе стороны на (3 - 2x), чтобы избавиться от знаменателя:

[ 7 + 2x = 9(3 - 2x) ]

Раскроем скобки:

[ 7 + 2x = 27 - 18x ]

Перенесем все члены с (x) в одну сторону, а константы в другую:

[ 2x + 18x = 27 - 7 ]

Сложим (x):

[ 20x = 20 ]

Разделим обе стороны уравнения на 20:

[ x = 1 ]

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение исходному уравнению, и не приводит ли оно к логарифмам отрицательных чисел или нуля. Подставим (x = 1) в исходное логарифмическое уравнение:

[ \log_3 (7 + 2 \cdot 1) = \log_3 (3 - 2 \cdot 1) + 2 ]

Вычислим значения внутри логарифмов:

[ \log_3 (7 + 2) = \log_3 (3 - 2) + 2 ]

[ \log_3 9 = \log_3 1 + 2 ]

Напомним, что (\log_3 9 = 2) (так как (3^2 = 9)), и (\log_3 1 = 0) (так как (3^0 = 1)):

[ 2 = 0 + 2 ]

Уравнение верное, следовательно, наше решение (x = 1) правильно.

Ответ: (x = 1).

Для начала преобразуем уравнение, используя свойство логарифмов: log_a(b) = log_a(c) равносильно b = c.

Имеем: 7 + 2x = 3 - 2x + 2.

Теперь решим полученное уравнение: 7 + 2x = 3 - 2x + 2 2x + 2x = 3 - 7 + 2 4x = -2 x = -1/2.

Таким образом, корень уравнения равен -1/2.