Log^2 5 x+log5 x=2 решить уравнение

log5 x (log5 x + 1) = 2 log5 x = 1 x = 5

Для решения данного уравнения сначала объединим логарифмы с одинаковым основанием:

log^2 5 x + log5 x = 2

log5 x * log5 x + log5 x = 2

Теперь применим свойство логарифмов:

log5 x^2 + log5 x = 2

log5 x^3 = 2

Теперь преобразуем уравнение в экспоненциальную форму:

5^2 = x^3

25 = x^3

Теперь найдем корень уравнения:

x = ∛25

x = 2.924

Итак, решение уравнения log^2 5 x + log5 x = 2 равно x = 2.924.

Для решения уравнения ( \log^2_5 x + \log_5 x = 2 ) введём замену переменной. Пусть ( y = \log_5 x ). Тогда уравнение перепишется в виде:

[ y^2 + y = 2. ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить стандартным способом. Перепишем его в стандартной форме:

[ y^2 + y - 2 = 0. ]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения ( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ), где ( a = 1 ), ( b = 1 ), и ( c = -2 ). Подставим эти значения в формулу:

[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}. ]

[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}. ]

[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}. ]

[ y = \frac{-1 \pm 3}{2}. ]

Теперь у нас есть два возможных значения для ( y ):

1. ( y = \frac{-1 + 3}{2} = 1 ).
2. ( y = \frac{-1 - 3}{2} = -2 ).

Теперь вернемся к переменной ( x ), зная, что ( y = \log_5 x ).

1. Если ( y = 1 ), то ( \log_5 x = 1 ). Это означает, что ( x = 5^1 = 5 ).

2. Если ( y = -2 ), то ( \log_5 x = -2 ). Это означает, что ( x = 5^{-2} = \frac{1}{25} ).

Таким образом, уравнение имеет два решения: ( x = 5 ) и ( x = \frac{1}{25} ).