Log^2 3(x-1) - 2 log(1/3)[9/(x-1)] = 2^[log 2(7)] решите пожалуйста

Для решения уравнения ( \log^23(x-1) - 2 \log{\frac{1}{3}}\left(\frac{9}{x-1}\right) = 2^{\log_2(7)} ), разберем его по частям и упростим выражения.

1. Преобразуем правую часть уравнения: [ 2^{\log_2(7)} = 7 ] Это следует из свойства логарифмов: ( a^{\log_a(b)} = b ).

Теперь уравнение принимает вид: [ \log^23(x-1) - 2 \log{\frac{1}{3}}\left(\frac{9}{x-1}\right) = 7 ]

1. Упростим второе логарифмическое выражение: [ \log{\frac{1}{3}}\left(\frac{9}{x-1}\right) ] Вспомним, что (\log{\frac{1}{3}}(a) = -\log3(a)). Таким образом, [ \log{\frac{1}{3}}\left(\frac{9}{x-1}\right) = -\log_3\left(\frac{9}{x-1}\right) ]

2. Преобразуем (\log_3\left(\frac{9}{x-1}\right)): [ \log_3\left(\frac{9}{x-1}\right) = \log_3(9) - \log_3(x-1) ] Поскольку (\log_3(9) = 2), [ \log_3\left(\frac{9}{x-1}\right) = 2 - \log_3(x-1) ]

Теперь заменим в исходном уравнении: [ \log^2_3(x-1) - 2(-\log_3(2 - \log_3(x-1))) = 7 ] [ \log^2_3(x-1) + 2(2 - \log_3(x-1)) = 7 ] [ \log^2_3(x-1) + 4 - 2\log_3(x-1) = 7 ] [ \log^2_3(x-1) - 2\log_3(x-1) + 4 = 7 ] [ \log^2_3(x-1) - 2\log_3(x-1) - 3 = 0 ]

1. Решим квадратное уравнение относительно (\log_3(x-1)): Обозначим (\log_3(x-1) = t). Тогда уравнение примет вид: [ t^2 - 2t - 3 = 0 ]

Это квадратное уравнение можно решить методом разложения на множители: [ t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1) = 0 ]

Следовательно, ( t = 3 ) или ( t = -1 ).

1. Найдем ( x ) для каждого значения ( t ):

• Если ( t = 3 ): [ \log_3(x-1) = 3 ] [ x - 1 = 3^3 ] [ x - 1 = 27 ] [ x = 28 ]

• Если ( t = -1 ): [ \log_3(x-1) = -1 ] [ x - 1 = 3^{-1} ] [ x - 1 = \frac{1}{3} ] [ x = \frac{1}{3} + 1 ] [ x = \frac{4}{3} ]

Таким образом, уравнение имеет два решения: [ x = 28 ] [ x = \frac{4}{3} ]

Ответ: ( x = 28 ) или ( x = \frac{4}{3} ).

Для решения данного уравнения сначала преобразуем логарифмы:

Log^2 3(x-1) = 2 log(1/3)[9/(x-1)] (Log 3(x-1))^2 = 2 log(1/3)[9/(x-1)] (Log 3(x-1))^2 = log(1/3)[(9/(x-1))^2] (Log 3(x-1))^2 = log(1/3)[81/(x-1)^2]

Теперь используем свойство логарифмов: если log(a)b = c, то b = a^c

(Log 3(x-1))^2 = 81/(x-1)^2 3(x-1) = sqrt(81) 3(x-1) = 9 x-1 = 3 x = 4

Подставляем x = 4 в исходное уравнение:

Log^2 3(4-1) - 2 log(1/3)[9/(4-1)] = 2^[log 2(7)] Log^2 9 - 2 log(1/3)[9/3] = 2^[log 2(7)] Log^2 9 - 2 log(1/3)[3] = 2^[log 2(7)] Log^2 9 - 2 log(1/3)[3] = 7 Log^2 9 - 2 = 7 2 = 7

Получаем противоречие, поэтому решения уравнения нет.