Lg(2xв квадрате +3x)=lg(6x+2)

Рассмотрим уравнение:

[ \log(2x^2 + 3x) = \log(6x + 2) ]

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся свойством логарифмов: если (\log_a(b) = \log_a(c)), то (b = c) при условии, что (b > 0) и (c > 0). Применим это свойство:

[ 2x^2 + 3x = 6x + 2 ]

Теперь решим получившееся квадратное уравнение. Сначала перенесем все члены на одну сторону:

[ 2x^2 + 3x - 6x - 2 = 0 ]

Упростим:

[ 2x^2 - 3x - 2 = 0 ]

Теперь найдем корни квадратного уравнения. Для этого используем формулу квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где (a = 2), (b = -3), (c = -2). Подставим эти значения в формулу:

1. Найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 ]

1. Теперь найдём корни:

[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 ]

[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} ]

Теперь у нас есть два решения: (x_1 = 2) и (x_2 = -\frac{1}{2}).

Однако, так как логарифм определён только для положительных значений аргумента, проверим, подходят ли эти решения:

1. Для (x = 2):

   [ 2x^2 + 3x = 2(2)^2 + 3(2) = 8 + 6 = 14 ]

   [ 6x + 2 = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14 ]

   Оба выражения положительные и равны, следовательно, (x = 2) является решением.

2. Для (x = -\frac{1}{2}):

   [ 2x^2 + 3x = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1 ]

   [ 6x + 2 = 6\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = -3 + 2 = -1 ]

   Оба значения отрицательные, поэтому (-\frac{1}{2}) не подходит, так как логарифм не определен для отрицательных аргументов.

Таким образом, единственное решение уравнения — (x = 2).

Для решения данного уравнения необходимо применить свойство логарифмов, согласно которому логарифм от произведения равен сумме логарифмов. Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

lg(2x^2 + 3x) = lg(6x + 2)

Теперь применим обратную функцию логарифму - экспоненту, чтобы избавиться от логарифмов:

2x^2 + 3x = 6x + 2

Далее приведем все члены уравнения к одной стороне и приведем подобные:

2x^2 + 3x - 6x - 2 = 0

2x^2 - 3x - 2 = 0

Теперь можно найти корни уравнения с помощью квадратного уравнения или других методов решения квадратных уравнений.