Корень из х-1 = х-3 Помогите пожалуйста решить. Нужно подробное решение, а то никак не разберусь как...

Для решения данного уравнения необходимо возвести обе части уравнения в квадрат.

(√(x-1))^2 = (x-3)^2

x-1 = (x-3)^2

Раскроем скобки в правой части уравнения:

x-1 = x^2 - 6x + 9

Теперь приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну сторону уравнения:

x^2 - 6x + 9 - x + 1 = 0

x^2 - 7x + 10 = 0

Далее решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-7)^2 - 4110 = 49 - 40 = 9

x1,2 = (7 ± √9) / 2 = (7 ± 3) / 2

x1 = (7 + 3) / 2 = 5

x2 = (7 - 3) / 2 = 2

Таким образом, получаем два корня уравнения: x1 = 5 и x2 = 2.

Конечно, давайте разберем уравнение (\sqrt{x-1} = x-3) шаг за шагом.

Шаг 1: Поднимите обе стороны уравнения в квадрат

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

[ (\sqrt{x-1})^2 = (x-3)^2 ]

Это упростится до:

[ x - 1 = (x - 3)^2 ]

Шаг 2: Раскройте квадрат на правой стороне

Раскроем квадрат на правой стороне уравнения:

[ x - 1 = (x-3)(x-3) ]

[ x - 1 = x^2 - 6x + 9 ]

Шаг 3: Перенесите все члены на одну сторону

Теперь перенесем все члены на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

[ 0 = x^2 - 6x + 9 - x + 1 ]

[ 0 = x^2 - 7x + 10 ]

Шаг 4: Решите квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение (x^2 - 7x + 10 = 0). Это можно сделать с помощью разложения на множители:

Ищем два числа, которые в сумме дают (-7), а в произведении (10). Этими числами будут (-5) и (-2).

[ x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2) = 0 ]

Отсюда у нас два корня:

1. (x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5)
2. (x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2)

Шаг 5: Проверьте корни

Поскольку мы возводили обе стороны в квадрат, могли возникнуть посторонние корни. Подставим найденные значения обратно в исходное уравнение, чтобы проверить их:

• Для (x = 5):

  (\sqrt{5-1} = 5-3)

  (\sqrt{4} = 2)

  (2 = 2) — верно.

• Для (x = 2):

  (\sqrt{2-1} = 2-3)

  (\sqrt{1} = -1)

  (1 \neq -1) — неверно.

Ответ

Единственное решение уравнения (\sqrt{x-1} = x-3) — это (x = 5).