Команда девятиклассников принимала участие в межшкольных соревнованиях по мини-футболу в количестве...

Для построения команды из 7 человек из 9 возможных участников (капитан, вратарь, 7 остальных игроков) существует 9!/(7!2!) = 36 способов.

Для решения задачи нужно определить количество способов, которыми можно упорядочить игроков команды с учетом заданных условий.

1. Выбор капитана и вратаря:
   Начнем с выбора капитана и вратаря. Поскольку у нас 7 человек, мы можем выбрать капитана любым из 7 способов. После выбора капитана остаётся 6 человек, из которых мы можем выбрать вратаря. Это можно сделать 6 способами. Таким образом, общее количество способов выбора капитана и вратаря равно:

   [ 7 \times 6 = 42 ]

2. Упорядочивание остальных игроков:
   После выбора капитана и вратаря, остаётся 5 человек, которых можно расположить в произвольном порядке. Количество способов упорядочивания 5 человек равно количеству перестановок из 5 элементов, что вычисляется как факториал:

   [ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 ]

3. Объединение результатов:
   Общее количество способов построения всей команды с учётом всех условий достигается перемножением количества способов выбора капитана и вратаря на количество способов упорядочивания оставшихся игроков:

   [ 42 \times 120 = 5040 ]

Таким образом, существует 5040 различных способов построения команды девятиклассников перед началом матча с учётом заданных условий.

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип умножения. Сначала выбираем капитана - это можно сделать 1 способом из 9 человек (всего 9 участников в команде). Затем выбираем вратаря - это можно сделать 1 способом из оставшихся 8 человек. И наконец, для выбора остальных игроков у нас остается 7 человек. Таким образом, общее количество способов построения команды равно 9 8 7 = 504. Итак, существует 504 способа построения команды девятиклассников для участия в мини-футбольных соревнованиях.