Х+корень из х=2(х-1)

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его:

х + √х = 2(х - 1)

Разложим правую часть уравнения:

х + √х = 2х - 2

Теперь преобразуем уравнение:

√x = х - 2

Возводим обе части уравнения в квадрат:

(√x)^2 = (х - 2)^2

x = х^2 - 4х + 4

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

х^2 - 5х + 4 = 0

Факторизуем уравнение:

(х - 1)(х - 4) = 0

Отсюда получаем два корня уравнения:

х = 1 или х = 4

Проверим оба значения, подставив их в исходное уравнение:

1 + √1 = 2(1 - 1) 1 + 1 = 2(0) 2 = 0 - неверно

4 + √4 = 2(4 - 1) 4 + 2 = 2(3) 6 = 6 - верно

Таким образом, единственным корнем уравнения х + √х = 2(х - 1) является х = 4.

Решим уравнение ( x + \sqrt{x} = 2(x - 1) ).

Для начала упростим правую часть: [ 2(x - 1) = 2x - 2 ]

Теперь перепишем уравнение: [ x + \sqrt{x} = 2x - 2 ]

Перенесём все члены с ( x ) влево, а остальные — вправо: [ x + \sqrt{x} - 2x = -2 ]

Объединим подобные члены: [ -x + \sqrt{x} = -2 ]

Умножим обе стороны на (-1), чтобы избавиться от отрицательных знаков: [ x - \sqrt{x} = 2 ]

Теперь добавим (\sqrt{x}) к обеим сторонам: [ x = \sqrt{x} + 2 ]

Обозначим (\sqrt{x}) как ( t ). Тогда ( t^2 = x ): [ t^2 = t + 2 ]

Перепишем уравнение: [ t^2 - t - 2 = 0 ]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта (\Delta): [ \Delta = b^2 - 4ac ] где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -2 ): [ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]

Теперь найдём корни квадратного уравнения: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} ]

Получаем два корня: [ t_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 ] [ t_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 ]

Так как ( t = \sqrt{x} ), то ( t ) должен быть неотрицательным, следовательно, ( t_2 = -1 ) не подходит.

Остаётся ( t_1 = 2 ). Тогда: [ \sqrt{x} = 2 ] [ x = 2^2 = 4 ]

Проверим решение, подставив ( x = 4 ) в исходное уравнение: [ 4 + \sqrt{4} = 2(4 - 1) ] [ 4 + 2 = 2 \cdot 3 ] [ 6 = 6 ]

Равенство выполняется, значит, решение верно.

Ответ: ( x = 4 ).

Корень из х = 1.