Х^4-2x^2-3=0 как решить это биквадратное уравнение, помогите, пожалуйста, срочно.

Для решения биквадратного уравнения ( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 ) начнем с замены переменной. Установим ( y = x^2 ). Тогда уравнение можно переписать в виде:

[ y^2 - 2y - 3 = 0 ]

Теперь это квадратное уравнение относительно ( y ). Мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ). Подставим значения в формулу:

[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} ] [ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} ] [ y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} ] [ y = \frac{2 \pm 4}{2} ]

Теперь найдем корни:

1. ( y_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 )
2. ( y_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 )

Теперь у нас есть два значения для ( y ): ( y_1 = 3 ) и ( y_2 = -1 ).

Поскольку мы сделали замену ( y = x^2 ), вернемся к переменной ( x ).

1. Для ( y_1 = 3 ): [ x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3} ]

2. Для ( y_2 = -1 ): [ x^2 = -1 ] Это уравнение не имеет действительных корней, поскольку квадрат числа не может быть отрицательным. Однако, в комплексной области мы можем записать: [ x = \pm i ]

Таким образом, все корни исходного биквадратного уравнения ( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 ) будут следующими:

[ x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3}, \quad x = i, \quad x = -i ]

В заключение, мы нашли два действительных корня ( \sqrt{3} ) и ( -\sqrt{3} ), а также два комплексных корня ( i ) и ( -i ).

Давайте разберем решение данного биквадратного уравнения шаг за шагом.

Уравнение, которое нужно решить:

[ x^4 - 2x^2 - 3 = 0. ]

Это биквадратное уравнение, так как степень переменной ( x ) равна 4. Решение таких уравнений можно упростить, сделав замену переменной.

Шаг 1: Замена переменной

Введем новую переменную ( t ), где:

[ t = x^2. ]

Заметим, что ( x^4 = (x^2)^2 = t^2 ). Таким образом, уравнение преобразуется:

[ t^2 - 2t - 3 = 0. ]

Теперь у нас квадратное уравнение относительно ( t ).

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение ( t^2 - 2t - 3 = 0 ) решается стандартным способом (через дискриминант):

Формула квадратного уравнения:

[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ).

Вычислим дискриминант (( D )):

[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16. ]

Теперь подставим в формулу корней:

[ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 \pm 4}{2}. ]

Найдём два значения для ( t ):

1. ( t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, )
2. ( t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1. )

Шаг 3: Возвращаемся к переменной ( x )

Помним, что ( t = x^2 ). Теперь рассмотрим оба случая:

1. Если ( t = 3 ), то ( x^2 = 3 ). Тогда ( x = \pm\sqrt{3} ).
2. Если ( t = -1 ), то ( x^2 = -1 ). Но квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому этот корень отбрасываем.

Шаг 4: Запишем итоговый ответ

Единственное решение уравнения:

[ x = \pm\sqrt{3}. ]

То есть:

[ x_1 = \sqrt{3}, \quad x_2 = -\sqrt{3}. ]

Проверка

Подставим ( x = \sqrt{3} ) в исходное уравнение:

[ (\sqrt{3})^4 - 2(\sqrt{3})^2 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0. ]

Уравнение выполнено. Аналогично проверяется ( x = -\sqrt{3} ).

Ответ:

[ x = \pm\sqrt{3}. ]