Х²-9>0 Решите неравенство!

Давайте решим неравенство ( x^2 - 9 > 0 ).

Для начала преобразуем неравенство, используя разность квадратов: [ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) ] Таким образом, неравенство принимает вид: [ (x-3)(x+3) > 0 ]

Чтобы решить это неравенство, нужно определить, когда произведение двух скобок будет положительным. Произведение двух чисел положительно, когда оба числа имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).

1. Рассмотрим случай, когда оба множителя положительны: [ x-3 > 0 \quad и \quad x+3 > 0 ] [ x > 3 \quad и \quad x > -3 ] Так как ( x > 3 ) автоматически подразумевает ( x > -3 ), условие ( x > 3 ) является достаточным.

2. Рассмотрим случай, когда оба множителя отрицательны: [ x-3 < 0 \quad и \quad x+3 < 0 ] [ x < 3 \quad и \quad x < -3 ] Здесь ( x < -3 ) является строжайшим условием, так как если ( x < -3 ), он автоматически меньше 3.

Теперь объединим оба случая: [ x < -3 \quad или \quad x > 3 ]

Мы можем записать это решение в виде интервалов: [ x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty) ]

Это означает, что ( x ) должен быть меньше (-3) или больше (3) для того, чтобы неравенство ( (x-3)(x+3) > 0 ) было верным.

Для решения неравенства x² - 9 > 0, мы сначала выражаем его в виде (x - 3)(x + 3) > 0, так как x² - 9 = (x - 3)(x + 3).

Далее, находим корни уравнения (x - 3)(x + 3) = 0, которые равны x = 3 и x = -3. Эти значения делят числовую прямую на три интервала: (-бесконечность, -3), (-3, 3) и (3, +бесконечность).

Теперь выбираем точку из каждого интервала и подставляем их в исходное неравенство. Например, для интервала (-бесконечность, -3) выберем x = -4, для интервала (-3, 3) выберем x = 0, а для интервала (3, +бесконечность) выберем x = 4.

Подстановка этих значений показывает, что неравенство (x - 3)(x + 3) > 0 выполняется для интервалов (-бесконечность, -3) и (3, +бесконечность), что можно записать в виде ответа:

x < -3 или x > 3.

(x < -3) или (x > 3)