Катер за 3 часа по течению и 5 часов против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и скорость...

Пусть скорость течения равна а км/ч, а скорость катера равна b км/ч. Тогда система уравнений будет выглядеть следующим образом: [\begin{cases} 3(a+b)=76 \ 5(a-b)=76 \ 6(a+b)=9(a-b) \end{cases}]

Решив данную систему уравнений, получим: a=8 км/ч, b=20 км/ч. Итак, скорость течения равна 8 км/ч, а скорость катера равна 20 км/ч.

Для решения задачи сначала обозначим неизвестные:

• ( v ) — скорость катера в стоячей воде (км/ч),
• ( u ) — скорость течения реки (км/ч).

Из условия задачи мы имеем две ситуации:

1. Катер за 3 часа по течению и 5 часов против течения проходит 76 км.
2. Катер за 6 часов по течению проходит столько же, сколько за 9 часов против течения.

Первое уравнение:

Когда катер движется по течению, его скорость увеличивается на скорость течения, то есть его общая скорость будет ( v + u ). Когда катер движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения, то есть его общая скорость будет ( v - u ).

Составим уравнение для первого условия: [ 3(v + u) + 5(v - u) = 76. ]

Раскроем скобки и приведём подобные: [ 3v + 3u + 5v - 5u = 76, ] [ 8v - 2u = 76. ]

Упростим: [ 4v - u = 38. ] Это будет наше первое уравнение.

Второе уравнение:

Для второго условия: [ 6(v + u) = 9(v - u). ]

Раскроем скобки: [ 6v + 6u = 9v - 9u. ]

Перенесём все члены с ( v ) в одну сторону, а с ( u ) в другую: [ 6v - 9v = -9u - 6u, ] [ -3v = -15u. ]

Упростим: [ v = 5u. ] Это будет наше второе уравнение.

Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( 4v - u = 38, )
2. ( v = 5u. )

Подставим второе уравнение во первое: [ 4(5u) - u = 38, ] [ 20u - u = 38, ] [ 19u = 38. ]

Найдём ( u ): [ u = \frac{38}{19}, ] [ u = 2. ]

Теперь подставим значение ( u ) во второе уравнение: [ v = 5u = 5 \times 2 = 10. ]

Итак, скорость течения ( u = 2 ) км/ч, а собственная скорость катера ( v = 10 ) км/ч.

Пусть скорость течения катера равна v км/ч, а скорость самого катера равна u км/ч.

Тогда по условию имеем систему уравнений:

3(u + v) + 5(u - v) = 76, 6(u + v) = 9(u - v).

Решим данную систему уравнений. Разложим уравнения на слагаемые:

3u + 3v + 5u - 5v = 76, 6u + 6v = 9u - 9v.

Сгруппируем переменные:

8u - 2v = 76, 3u - 6v = 0.

Решим систему методом подстановки или методом Крамера. Для метода Крамера составим матрицу:

|8 -2| |u| |76| |3 -6| |v| = |0|.

Вычислим определитель основной матрицы:

det = 8(-6) - (-23) = -48 + 6 = -42.

Вычислим определители для u и v:

det_u = 76(-6) - (-20) = -456, det_v = 80 - 376 = -228.

Теперь найдем значения u и v:

u = det_u / det = -456 / -42 = 12 км/ч, v = det_v / det = -228 / -42 = 6 км/ч.

Итак, скорость течения катера равна 6 км/ч, а скорость самого катера равна 12 км/ч.