Катер прошёл 46 км по течению реки и 17 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найти собственную...

Пусть скорость катера в стоячей воде равна х км/ч. Тогда скорость катера по течению реки будет равна (x + 3) км/ч, а против течения - (x - 3) км/ч.

Согласно условию задачи, время, затраченное на прохождение всего пути, равно 3 часа. Используя формулу времени как отношение расстояния к скорости, можно записать два уравнения:

46 / (x + 3) + 17 / (x - 3) = 3

Упростим уравнение:

46(x - 3) + 17(x + 3) = 3(x + 3)(x - 3) 46x - 138 + 17x + 51 = 3(x^2 - 9) 63x - 87 = 3x^2 - 27 3x^2 - 63x - 60 = 0 x^2 - 21x - 20 = 0 (x - 20)(x + 1) = 0

Отсюда получаем два корня уравнения: x1 = 20 и x2 = -1. Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость катера равна 20 км/ч.

Для решения задачи об определении собственной скорости катера, необходимо использовать информацию о расстояниях, времени и скорости течения реки. Давайте обозначим собственную скорость катера за ( v ) км/ч. Скорость течения реки известна и составляет 3 км/ч.

Когда катер движется по течению, его общая скорость увеличивается на скорость течения. Следовательно, его скорость по течению будет ( v + 3 ) км/ч.

Когда катер движется против течения, его общая скорость уменьшается на скорость течения. Следовательно, его скорость против течения будет ( v - 3 ) км/ч.

Теперь составим уравнения для времени, затраченного на каждый участок пути. Время определяется как отношение расстояния к скорости.

1. Время, затраченное на прохождение 46 км по течению: [ t_1 = \frac{46}{v + 3} ]

2. Время, затраченное на прохождение 17 км против течения: [ t_2 = \frac{17}{v - 3} ]

Суммарное время, затраченное на весь путь, составляет 3 часа: [ t_1 + t_2 = 3 ]

Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ) в это уравнение: [ \frac{46}{v + 3} + \frac{17}{v - 3} = 3 ]

Для решения этого уравнения найдем общий знаменатель для дробей: [ \frac{46(v - 3) + 17(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 3 ]

Раскроем скобки в числителе: [ \frac{46v - 138 + 17v + 51}{v^2 - 9} = 3 ]

Сложим подобные члены в числителе: [ \frac{63v - 87}{v^2 - 9} = 3 ]

Теперь умножим обе части уравнения на ( v^2 - 9 ), чтобы избавиться от знаменателя: [ 63v - 87 = 3(v^2 - 9) ]

Раскроем скобки справа: [ 63v - 87 = 3v^2 - 27 ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения для получения квадратного уравнения: [ 3v^2 - 63v + 60 = 0 ]

Теперь упростим уравнение, разделив его на 3: [ v^2 - 21v + 20 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней: [ v = \frac{21 \pm \sqrt{21^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} ]

Вычислим дискриминант: [ 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 441 - 80 = 361 ]

Корень из дискриминанта: [ \sqrt{361} = 19 ]

Теперь подставим значения в формулу: [ v = \frac{21 \pm 19}{2} ]

Получим два решения: [ v = \frac{21 + 19}{2} = 20 ] [ v = \frac{21 - 19}{2} = 1 ]

Поскольку скорость катера ( v ) должна быть больше скорости течения (3 км/ч), то значение ( v = 1 ) не подходит.

Таким образом, собственная скорость катера равна 20 км/ч.