Какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами p {2;-3}, q {1;1}

Для того чтобы определить угол между векторами ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ), нам нужно воспользоваться скалярным произведением этих векторов. Скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{p} = {2, -3} ) и ( \mathbf{q} = {1, 1} ) можно вычислить по формуле:

[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = p_x \cdot q_x + p_y \cdot q_y ]

Подставим значения координат:

[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 2 \cdot 1 + (-3) \cdot 1 = 2 - 3 = -1 ]

Теперь вычислим длины (модули) векторов ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ):

[ |\mathbf{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ]

[ |\mathbf{q}| = \sqrt{q_x^2 + q_y^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ]

Используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{p}| \cdot |\mathbf{q}|} ]

Подставим вычисленные значения:

[ \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{26}} ]

Теперь вычислим угол ( \theta ) с использованием арккосинуса:

[ \theta = \arccos \left( \frac{-1}{\sqrt{26}} \right) ]

Теперь определим, какой это угол: острый, прямой или тупой. Если ( \cos \theta < 0 ), то угол между векторами тупой, если ( \cos \theta = 0 ), то угол прямой, и если ( \cos \theta > 0 ), то угол острый.

В нашем случае:

[ \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{26}} ]

Так как (\frac{-1}{\sqrt{26}} < 0), это означает, что угол ( \theta ) между векторами ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ) является тупым.

Для определения угла между векторами p {2;-3} и q {1;1} используется формула скалярного произведения векторов:

pq = |p| |q| * cos(α)

где p*q - скалярное произведение векторов p и q, |p| и |q| - длины векторов p и q соответственно, α - угол между векторами.

Длины векторов p и q вычисляются по формуле: |p| = √(2^2 + (-3)^2) = √(4 + 9) = √13 и |q| = √(1^2 + 1^2) = √2.

Скалярное произведение векторов p и q равно: pq = 21 + (-3)*1 = 2 - 3 = -1.

Подставив все значения в формулу, получаем: -1 = √13 √2 cos(α).

Отсюда cos(α) = -1 / (√13 * √2) = -1 / √26.

Так как cos(α) < 0, то угол α между векторами p и q тупой.