Как сравнить числа корень из 17 + корень из 2 и корень из 19?

Чтобы сравнить числа (\sqrt{17} + \sqrt{2}) и (\sqrt{19}), мы можем сделать это без точного вычисления значений, используя неравенства и свойства квадратных корней.

1. Оценка значений корней:

   • (\sqrt{17}) находится между (\sqrt{16} = 4) и (\sqrt{25} = 5). Более точно, (\sqrt{17}) чуть больше 4, но меньше 4.1, потому что (4.1^2 = 16.81).
   • (\sqrt{2}) примерно равно 1.414.
   • (\sqrt{19}) находится между (\sqrt{16} = 4) и (\sqrt{25} = 5). Более точно, (\sqrt{19}) чуть больше 4.3, так как (4.3^2 = 18.49).

2. Приближенные значения:

   • Приблизительно (\sqrt{17} \approx 4.123).
   • Приблизительно (\sqrt{19} \approx 4.359).

3. Сложение и сравнение:

   • Теперь мы сложим приближенные значения: (\sqrt{17} + \sqrt{2} \approx 4.123 + 1.414 = 5.537).
   • Мы видим, что (5.537) явно больше, чем (\sqrt{19} \approx 4.359).

4. Альтернативный метод:

   • Для более строгого доказательства можно возвести обе части в квадрат и сравнить: [ (\sqrt{17} + \sqrt{2})^2 = 17 + 2 + 2\sqrt{34} = 19 + 2\sqrt{34} ] Нужно сравнить с (19).
   • Сравним (19 + 2\sqrt{34}) и (19): [ 19 + 2\sqrt{34} > 19 \quad \text{так как} \quad 2\sqrt{34} > 0 ]
   • Таким образом, ((\sqrt{17} + \sqrt{2})^2 > 19), что подтверждает, что (\sqrt{17} + \sqrt{2} > \sqrt{19}).

Вывод: (\sqrt{17} + \sqrt{2}) больше, чем (\sqrt{19}).

Для сравнения чисел корень из 17 + корень из 2 и корень из 19, можно воспользоваться методом приведения подобных выражений.

Сначала разложим корень из 17 + корень из 2 в более простую форму: √17 + √2 = √(17 + 2) = √19.

Теперь у нас есть √19 и √19 - нужно определить, какое из этих чисел больше. Для этого можно возвести оба числа в квадрат и сравнить их:

(√19)^2 = 19, (√19)^2 = 19.

Таким образом, мы видим, что оба числа равны. Следовательно, √17 + √2 = √19 и √19 равны друг другу.