Как решить уравнение 2/(х^2+10х+25)- 10/(25-х^(2 ) )= 1/(х-5)

Для начала приведем уравнение к общему знаменателю. У нас есть уравнение:

2/(x^2 + 10x + 25) - 10/(25 - x^2) = 1/(x - 5)

Для удобства приведем знаменатели дробей к общему знаменателю, который равен (x - 5)(x + 5):

2/(x + 5)^2 - 10/(25 - x^2) = 1/(x - 5)

Теперь умножим каждую дробь на общий знаменатель:

2(x - 5)/[(x - 5)(x + 5)] - 10(x + 5)/[(x - 5)(x + 5)] = 1/(x - 5)

Упростим выражение:

2(x - 5) - 10(x + 5) = (x + 5)

2x - 10 - 10x - 50 = x + 5

-8x - 60 = x + 5

-8x - x = 5 + 60

-9x = 65

x = -65/9

Таким образом, корень уравнения равен x = -65/9.

Решение уравнений вида ( \frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5} ) требует внимательного анализа и преобразований. Давайте рассмотрим этот процесс пошагово.

Шаг 1: Упрощение выражений в знаменателях

Начнем с упрощения квадратных выражений в знаменателях.

1. ( x^2 + 10x + 25 ) можно разложить на множители: [ x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 ]

2. ( 25 - x^2 ) также можно разложить, заметив, что это разность квадратов: [ 25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) ]

Шаг 2: Замена переменных

Теперь подставим эти разложения в уравнение:

[ \frac{2}{(x + 5)^2} - \frac{10}{(5 - x)(5 + x)} = \frac{1}{x - 5} ]

Шаг 3: Упрощение второго члена

Обратим внимание, что ( (5 - x)(5 + x) = 25 - x^2 ). Следовательно, второй член можно записать как:

[ \frac{10}{(5 - x)(5 + x)} = \frac{10}{-((x - 5)(x + 5))} ]

Поскольку ( (5 - x) = -(x - 5) ), у нас получится:

[ \frac{10}{-((x - 5)(x + 5))} = -\frac{10}{(x - 5)(x + 5)} ]

Шаг 4: Общий знаменатель

Для удобства дальнейшего решения, представим все члены уравнения с общим знаменателем. Общий знаменатель будет ((x - 5)(x + 5)^2):

[ \frac{2}{(x + 5)^2} = \frac{2(x - 5)}{(x + 5)^2 (x - 5)} = \frac{2(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)^2} ]

[ -\frac{10}{(x - 5)(x + 5)} = -\frac{10(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)^2} ]

[ \frac{1}{x - 5} = \frac{(x + 5)^2}{(x - 5)(x + 5)^2} ]

Шаг 5: Объединение дробей и упрощение

Объединим все дроби:

[ \frac{2(x - 5) - 10(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)^2} = \frac{(x + 5)^2}{(x - 5)(x + 5)^2} ]

Сравнивая числители, получаем:

[ 2(x - 5) - 10(x + 5) = (x + 5)^2 ]

Раскроем скобки и упростим:

[ 2x - 10 - 10x - 50 = x^2 + 10x + 25 ]

[ -8x - 60 = x^2 + 10x + 25 ]

Шаг 6: Приведение к квадратному уравнению

Приведём все к одной стороне уравнения:

[ x^2 + 10x + 25 + 8x + 60 = 0 ]

[ x^2 + 18x + 85 = 0 ]

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Решим полученное квадратное уравнение ( x^2 + 18x + 85 = 0 ) используя формулу для корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где ( a = 1 ), ( b = 18 ), ( c = 85 ):

[ x = \frac{-18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 1 \cdot 85}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{-18 \pm \sqrt{324 - 340}}{2} ]

[ x = \frac{-18 \pm \sqrt{-16}}{2} ]

[ x = \frac{-18 \pm 4i}{2} ]

[ x = -9 \pm 2i ]

Итог

Корни уравнения ( x = -9 + 2i ) и ( x = -9 - 2i ) являются комплексными числами, так как под корнем у нас возникло отрицательное число.

Таким образом, уравнение ( \frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5} ) не имеет действительных решений и имеет два комплексных корня: ( x = -9 + 2i ) и ( x = -9 - 2i ).