Как решить 5tgx-4ctgx+8=0

Чтобы решить уравнение ( 5\tan(x) - 4\cot(x) + 8 = 0 ), сначала вспомним, что ( \cot(x) ) можно выразить через ( \tan(x) ). А именно, ( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} ).

Перепишем уравнение, используя это выражение: [ 5\tan(x) - 4\frac{1}{\tan(x)} + 8 = 0 ]

Обозначим ( \tan(x) = t ). Тогда наше уравнение примет вид: [ 5t - \frac{4}{t} + 8 = 0 ]

Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на ( t ): [ 5t^2 + 8t - 4 = 0 ]

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Напомним, что квадратное уравнение имеет вид ( at^2 + bt + c = 0 ), где: [ a = 5, \quad b = 8, \quad c = -4 ]

Вычислим дискриминант ( D ): [ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144 ]

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ t = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 5} ] [ t = \frac{-8 \pm 12}{10} ]

Корни будут: [ t_1 = \frac{-8 + 12}{10} = \frac{4}{10} = 0.4 ] [ t_2 = \frac{-8 - 12}{10} = \frac{-20}{10} = -2 ]

Теперь вернемся к переменной ( x ). У нас есть два значения для ( \tan(x) ):

1. ( \tan(x) = 0.4 )
2. ( \tan(x) = -2 )

Рассмотрим каждое из них.

1. ( \tan(x) = 0.4 ) [ x = \arctan(0.4) + \pi k ] где ( k ) — любое целое число.

2. ( \tan(x) = -2 ) [ x = \arctan(-2) + \pi k ] где ( k ) — любое целое число.

Итак, общее решение уравнения: [ x = \arctan(0.4) + \pi k \quad \text{или} \quad x = \arctan(-2) + \pi k ] где ( k ) — любое целое число.

Таким образом, мы нашли все значения ( x ), удовлетворяющие исходному уравнению.

Для решения уравнения 5tgx - 4ctgx + 8 = 0, сначала объединим все тангенсы в одно уравнение. Для этого воспользуемся формулой tgx = 1/ctgx. Таким образом, уравнение примет вид:

5tgx - 4/cosx + 8 = 0 5tgx - 4/sinx + 8 = 0 5tgx = 4/sinx - 8 5tgx = (4 - 8sinx)/sinx

Затем преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Умножим обе части уравнения на sinx:

5sinx tgx = 4 - 8sinx 5sinx sinx/cosx = 4 - 8sinx 5sin^2x/cosx = 4 - 8sinx

Подставим tgx = sinx/cosx:

5sin^2x = 4cosx - 8sinx

Теперь приведем уравнение к квадратному виду, используя тригонометрическое тождество sin^2x + cos^2x = 1:

5(1 - cos^2x) = 4cosx - 8sinx 5 - 5cos^2x = 4cosx - 8sinx

5cos^2x + 4cosx - 8sinx - 5 = 0

Полученное квадратное уравнение можно решить с помощью методов решения квадратных уравнений, таких как дискриминант или завершение квадратного трехчлена. Как только найдутся корни уравнения, можно найти значения x, удовлетворяющие заданному уравнению.