Известно, что ctg t=3/4 , П<t<3П/2. Вычислите cos t/2 , sin t/2 , tg t/2, ctg t/2

Для нахождения значений cos t/2, sin t/2, tg t/2, ctg t/2 воспользуемся формулами половинного угла:

cos t/2 = -√(1 + cos t) / 2 = -√(1 + 4/5) / 2 = -√(9/5) / 2 = -3/√5

sin t/2 = -√(1 - cos t) / 2 = -√(1 - 4/5) / 2 = -√(1/5) / 2 = -1/√5

tg t/2 = sin t/2 / cos t/2 = (-1/√5) / (-3/√5) = 1/3

ctg t/2 = 1 / tg t/2 = 3

Для начала вспомним, что ( \cot(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)} ). Нам дано, что ( \cot(t) = \frac{3}{4} ), и ( \pi < t < \frac{3\pi}{2} ). Это означает, что угол ( t ) находится в третьей четверти, где синус и косинус отрицательны.

1. Найдем (\sin(t)) и (\cos(t)):

   (\cot(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \frac{3}{4})

   Пусть (\cos(t) = -3k) и (\sin(t) = -4k), где ( k > 0 ) — положительный коэффициент.

   Используем основное тригонометрическое тождество (\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1): [ (-3k)^2 + (-4k)^2 = 1 \implies 9k^2 + 16k^2 = 1 \implies 25k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{1}{25} \implies k = \frac{1}{5} ]

   Таким образом, [ \cos(t) = -3 \cdot \frac{1}{5} = -\frac{3}{5} ] [ \sin(t) = -4 \cdot \frac{1}{5} = -\frac{4}{5} ]

2. Найдем (\cos\left(\frac{t}{2}\right)) и (\sin\left(\frac{t}{2}\right)):

   Используем формулы понижения степени: [ \cos\left(\frac{t}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos(t)}{2}} ] [ \sin\left(\frac{t}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(t)}{2}} ]

   Поскольку ( \pi < t < \frac{3\pi}{2} ), то ( \frac{\pi}{2} < \frac{t}{2} < \frac{3\pi}{4} ). Это означает, что (\frac{t}{2}) находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

   Найдем значения: [ \cos\left(\frac{t}{2}\right) = -\sqrt{\frac{1 + \cos(t)}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{2}{10}} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} ]

   [ \sin\left(\frac{t}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(t)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} ]

3. Найдем (\tan\left(\frac{t}{2}\right)) и (\cot\left(\frac{t}{2}\right)):

   [ \tan\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}{\cos\left(\frac{t}{2}\right)} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} = -2 ]

   [ \cot\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{\cos\left(\frac{t}{2}\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = -\frac{1}{2} ]

Таким образом, мы получили следующие значения: [ \cos\left(\frac{t}{2}\right) = -\frac{\sqrt{5}}{5} ] [ \sin\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5} ] [ \tan\left(\frac{t}{2}\right) = -2 ] [ \cot\left(\frac{t}{2}\right) = -\frac{1}{2} ]

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы половинного угла.

Известно, что ctg(t) = 3/4. Так как ctg(t) = 1/tg(t), то tg(t) = 4/3.

Затем, используя формулы половинного угла, получаем:

cos(t/2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2) = ± √((1 + cos(t)) / 2).

sin(t/2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2) = ± √((1 - cos(t)) / 2).

tg(t/2) = sin(t/2) / cos(t/2) = ± √((1 - cos(t)) / (1 + cos(t))).

ctg(t/2) = cos(t/2) / sin(t/2) = ± √((1 + cos(t)) / (1 - cos(t))).

Таким образом, выражения для cos(t/2), sin(t/2), tg(t/2) и ctg(t/2) будут зависеть от значения cos(t).