Изобразить схематически график функции y=x в степени -5 и указать ее область определения и множество...

Функция ( y = x^{-5} ) или ( y = \frac{1}{x^5} ) представляет собой обратную пропорциональность, где степень 5 указывает на особенности её поведения.

Область определения

Функция определена для всех ( x ), кроме ( x = 0 ). При ( x = 0 ) знаменатель обращается в ноль, что делает выражение неопределённым. Таким образом, область определения функции — все вещественные числа, кроме нуля: [ D(f) = \mathbb{R} \setminus {0} ]

Множество значений

Поскольку функция имеет вид обратной степени, она никогда не достигнет значения ноль, но может быть сколь угодно близкой к нему при увеличении ( |x| ) (при ( x ) стремящемся к нулю или к бесконечности). Также функция принимает как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от знака ( x ). Таким образом, множество значений функции — все вещественные числа, кроме нуля: [ E(f) = \mathbb{R} \setminus {0} ]

График функции

График функции ( y = \frac{1}{x^5} ) симметричен относительно начала координат из-за нечётности степени в знаменателе.

1. Когда ( x ) принимает положительные значения, ( y ) также будет положительным и стремиться к нулю, поскольку знаменатель ( x^5 ) будет увеличиваться.
2. Когда ( x ) принимает отрицательные значения, ( y ) будет следовать тому же поведению и также будет положительным (поскольку отрицательное число в нечётной степени даст отрицательное число, а обратное к нему будет положительным).
3. Вблизи ( x = 0 ), функция стремится к бесконечности, так как малые значения ( x ) в знаменателе делают дробь очень большой.

На графике функция будет выглядеть следующим образом:

• Подходя к оси ( y ) справа (при ( x \to 0^+ )), график стремится к ( +\infty ).
• Подходя к оси ( y ) слева (при ( x \to 0^- )), график также стремится к ( +\infty ).
• С увеличением ( |x| ) (как в положительную, так и в отрицательную стороны), график асимптотически приближается к оси ( x ).

Таким образом, график обладает двумя вертикальными асимптотами при ( x = 0 ) и горизонтальной асимптотой ( y = 0 ), и выглядит как две ветви, идущие из бесконечности в точке ( x = 0 ) и спускающиеся к оси ( x ), приближаясь к ней, но никогда не касаясь.

Функция y = x^(-5) изображается на графике следующим образом:

• График функции будет проходить через точку (1, 1) и стремиться к бесконечности при x=0.
• Область определения функции: x ≠ 0, так как при x=0 функция не существует из-за деления на ноль.
• Множество значений функции: y ≠ 0, так как функция стремится к бесконечности при x=0.

Таким образом, график функции y = x^(-5) будет представлен кривой, проходящей через точку (1, 1) и стремящейся к бесконечности при x=0.