Изобразить эскиз графика функции у=х^5 СРОЧНО!

Чтобы изобразить эскиз графика функции ( y = x^5 ), давайте рассмотрим несколько ключевых аспектов, которые помогут построить график.

1. Основные свойства функции:

   • Чётность/нечётность: Функция ( y = x^5 ) является нечётной, поскольку ( (-x)^5 = -x^5 ). Это значит, что график симметричен относительно начала координат.

   • Область определения и область значений: Функция определена для всех ( x ) (то есть, ( x \in \mathbb{R} )), и её значения также принимают все действительные числа (то есть, ( y \in \mathbb{R} )).

   • Поведение на бесконечности: При ( x \to +\infty ), ( y \to +\infty ); при ( x \to -\infty ), ( y \to -\infty ).

2. Производные и критические точки:

   • Первая производная: ( y' = 5x^4 ). Поскольку производная всегда положительна для всех ( x \neq 0 ), функция монотонно возрастает на всём своём промежутке определения. Нет точек максимума или минимума.

   • Вторая производная: ( y'' = 20x^3 ). Вторая производная меняет знак в точке ( x = 0 ). Для ( x < 0 ), ( y'' < 0 ) — график вогнут (выпуклость вниз), для ( x > 0 ), ( y'' > 0 ) — график выпуклый (выпуклость вверх). Точка ( x = 0 ) является точкой перегиба.

3. Ключевые точки:

   • Точка пересечения с осью ( y ): ( (0, 0) ).

4. Построение эскиза:

   • Начните с точки (0, 0), поскольку она лежит на графике.

   • Учтите, что для положительных значений ( x ), функция быстро растёт, показывая выпуклость вверх, и для отрицательных значений ( x ) — вогнутость вниз.

   • Изобразите симметрию относительно начала координат, так как функция нечётная.

5. Примеры точек:

   • ( x = 1 ), ( y = 1^5 = 1 )
   • ( x = -1 ), ( y = (-1)^5 = -1 )
   • ( x = 2 ), ( y = 2^5 = 32 )
   • ( x = -2 ), ( y = (-2)^5 = -32 )

Эти точки помогут уточнить эскиз. График должен иметь характерную "S"-образную форму, проходя через начало координат и демонстрируя разные виды выпуклости по сторонам от оси ( y ).

Для того чтобы изобразить эскиз графика функции y = x^5, необходимо использовать знания о поведении данной функции. Функция y = x^5 является нечетной функцией с пятью четвертями симметрии. Это означает, что график функции будет иметь ту же форму как справа, так и слева от оси y.

Также стоит отметить, что функция y = x^5 имеет нулевой градиент при x = 0, что означает, что график будет касаться оси x в точке (0,0). Поскольку x^5 увеличивается быстрее, чем x^2, график будет стремиться к бесконечности для x -> +-бесконечность.

Таким образом, для построения эскиза графика функции y = x^5, следует начертить горизонтальную ось x и вертикальную ось y, отметить точку (0,0) и нарисовать кривую, которая будет стремиться к бесконечности при приближении к +-бесконечности по оси x.