Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно навстречу друг другу легковая...

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим скорость легковой машины через ( v_1 ) км/ч, а скорость грузовой машины через ( v_2 ) км/ч.

1. Составим уравнение на основе времени встречи:

   Машины встретились через 2,5 часа, и за это время они вместе преодолели расстояние в 300 км. Поэтому можем записать уравнение:

   [ v_1 \times 2.5 + v_2 \times 2.5 = 300 ]

   Разделим обе части уравнения на 2,5:

   [ v_1 + v_2 = 120 \quad \text{(Уравнение 1)} ]

2. Используем информацию о времени, затраченном на весь путь:

   Грузовик затратил на 3 часа 45 минут больше, чем легковая машина. Сначала переведем 3 часа 45 минут в часы: 3 часа 45 минут = 3,75 часа.

   Время, которое затратила легковая машина на весь путь (300 км), равно (\frac{300}{v_1}).

   Время, которое затратил грузовик на весь путь (300 км), равно (\frac{300}{v_2}).

   Дано, что (\frac{300}{v_2} = \frac{300}{v_1} + 3.75).

3. Составим второе уравнение:

   [ \frac{300}{v_2} - \frac{300}{v_1} = 3.75 \quad \text{(Уравнение 2)} ]

4. Решим систему уравнений:

   Из Уравнения 1 выразим одну из скоростей, например, ( v_2 = 120 - v_1 ).

   Подставим это выражение в Уравнение 2:

   [ \frac{300}{120 - v_1} - \frac{300}{v_1} = 3.75 ]

   Умножим все на ( v_1(120 - v_1) ) для избавления от дробей:

   [ 300v_1 - 300(120 - v_1) = 3.75v_1(120 - v_1) ]

   Упростим:

   [ 300v_1 - 36000 + 300v_1 = 3.75v_1(120 - v_1) ]

   [ 600v_1 - 36000 = 450v_1 - 3.75v_1^2 ]

   Перенесем все в одну часть уравнения:

   [ 3.75v_1^2 - 150v_1 + 36000 = 0 ]

   Разделим уравнение на 3.75, чтобы упростить:

   [ v_1^2 - 40v_1 + 9600 = 0 ]

   Решим квадратное уравнение:

   Дискриминант ( D = (-40)^2 - 4 \times 1 \times 9600 = 1600 - 38400 = 25600 ).

   [ v_1 = \frac{40 \pm \sqrt{25600}}{2} ]

   [ v_1 = \frac{40 \pm 160}{2} ]

   Положительное решение:

   [ v_1 = \frac{200}{2} = 100 ]

   Подставим ( v_1 = 100 ) в Уравнение 1 для нахождения ( v_2 ):

   [ v_2 = 120 - 100 = 20 ]

Таким образом, скорость легковой машины ( v_1 = 100 ) км/ч, а скорость грузовика ( v_2 = 20 ) км/ч.

Пусть скорость легковой машины равна V км/ч, а скорость грузовой машины равна V1 км/ч.

Так как они двигались навстречу друг другу, то сумма их скоростей равна скорости, с которой они сближались: V + V1 = 300 / 2,5 = 120 км/ч.

Также из условия известно, что грузовик затратил на весь путь на 3 ч 45 мин больше, чем легковая машина. Это можно записать уравнением: 300 / V1 = 300 / V + 3 + 45 / 60.

Далее можно решить систему уравнений методом подстановки или методом исключения и найти значения скоростей легковой и грузовой машины.