Из цифр 1, 2, 0, 5, 6 составлены всевозможные пятизначные числа (без повторения цифр). Сколько среди этих чисел таких, которые:
а) кратны 4;
б) кратны 5?
Из цифр 1, 2, 0, 5, 6 составлены всевозможные пятизначные числа (без повторения цифр). Сколько среди этих чисел таких, которые:
а) кратны 4;
б) кратны 5?
а) Для того чтобы число было кратно 4, последние две цифры должны образовывать число, кратное 4. Из цифр 1, 2, 0, 5, 6 можно составить следующие числа, кратные 4: 12056, 12065, 12560, 12506, 12650, 12605, 15026, 15062, 15620, 15602, 16025, 16052, 16520, 16502, 20156, 20516, 20615, 20651, 21056, 21065, 21560, 21506, 21650, 21605, 25016, 25061, 25106, 25160, 25610, 25601, 26015, 26051, 26105, 26150, 26510, 26501, 50126, 50162, 50216, 50261, 50612, 50621, 51026, 51062, 51206, 51260, 51602, 51620, 52016, 52061, 52106, 52160, 52610, 52601, 56012, 56021, 56102, 56120, 56201, 56210, 60125, 60152, 60215, 60251, 60512, 60521, 61025, 61052, 61205, 61250, 61502, 61520, 62015, 62051, 62105, 62150, 62510, 62501. Всего таких чисел 72.
б) Для того чтобы число было кратно 5, последняя цифра должна быть 0 или 5. Из цифр 1, 2, 0, 5, 6 можно составить следующие числа, кратные 5: 12050, 12005, 12500, 15020, 15002, 15060, 15006, 15600, 16050, 16005, 20150, 20510, 20501, 21050, 21005, 21500, 25010, 25001, 50120, 50102, 50160, 50106, 50210, 50201, 50610, 50601, 51020, 51002, 51060, 51006, 51200, 56010, 56001, 60120, 60102, 60150, 60105, 60210, 60201, 60510, 60501, 61020, 61002, 61200. Всего таких чисел 36.
а) Для того чтобы число было кратно 4, необходимо, чтобы последние две цифры были кратны 4. Из данного набора цифр (1, 2, 0, 5, 6) только два числа 20 и 60 подходят под это условие. Таким образом, количество пятизначных чисел из данных цифр, кратных 4, равно 2.
б) Для того чтобы число было кратно 5, необходимо, чтобы последняя цифра была 0 или 5. Из данного набора цифр (1, 2, 0, 5, 6) только два числа 20 и 60 также подходят под это условие. Таким образом, количество пятизначных чисел из данных цифр, кратных 5, также равно 2.
Для решения задачи нужно учитывать свойства чисел, кратных 4 и 5, а также принципы комбинаторики.
а) Проверка кратности числа 4: Число делится на 4, если его последние две цифры образуют число, кратное 4. Поэтому для пятизначного числа, составленного из цифр 1, 2, 0, 5, 6, нужно рассмотреть все возможные комбинации последних двух цифр и проверить, образуют ли они число, кратное 4.
Рассмотрим все возможные комбинации последних двух цифр:
Из этого списка видно, что следующие комбинации последних двух цифр делятся на 4: 12, 16, 20, 52, 56, 60.
Теперь нужно подсчитать количество пятизначных чисел для каждого из этих случаев.
Каждую из этих комбинаций последних двух цифр можно дополнить оставшимися тремя цифрами, которые можно расположить в любом порядке. Таким образом, для каждой пары последних цифр есть (3!) (факториал от 3) способов расположить оставшиеся три цифры.
Количество таких чисел:
Всего таких чисел: (6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 36).
б) Проверка кратности числа 5: Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
Рассмотрим сначала случай, когда последняя цифра — 0. Оставшиеся четыре цифры (1, 2, 5, 6) можно расположить в любом порядке. Количество способов: (4!) (факториал от 4) = 24.
Теперь рассмотрим случай, когда последняя цифра — 5. Оставшиеся четыре цифры (1, 2, 0, 6) также можно расположить в любом порядке. Количество способов: (4!) = 24.
Всего таких чисел: (24 + 24 = 48).
Итак, среди пятизначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 0, 5, 6 без повторений: а) 36 чисел кратны 4; б) 48 чисел кратны 5.
