Из ящика, где хранятся 5 желтых и 7 красных карандашей, продавец, не глядя, вынимает один за другим...

а) Для нахождения вероятности того, что все карандаши окажутся желтыми, нужно разделить количество благоприятных исходов на общее количество исходов. Благоприятные исходы: выбрать 3 желтых карандаша из 5. Общее количество исходов: выбрать 3 карандаша из 12 (общее количество карандашей). Таким образом, вероятность того, что все карандаши окажутся желтыми, равна 5C3 / 12C3 = (543) / (121110) = 60 / 220 = 3 / 11.

б) Для нахождения вероятности того, что первые два карандаша будут желтыми, а третий - красный, нужно также разделить количество благоприятных исходов на общее количество исходов. Благоприятные исходы: выбрать 2 желтых карандаша из 5 и 1 красный карандаш из 7. Общее количество исходов: выбрать 3 карандаша из 12. Таким образом, вероятность того, что первые два карандаша будут желтыми, а третий - красный, равна (5C2 7C1) / 12C3 = (10 7) / 220 = 70 / 220 = 7 / 22.

Для решения задачи о вероятности необходимо понять общее количество благоприятных исходов и общее количество всех возможных исходов.

Итак, у нас есть ящик, содержащий 5 желтых и 7 красных карандашей, всего 12 карандашей. Мы извлекаем 3 карандаша подряд, не возвращая их обратно.

а) Вероятность того, что все карандаши окажутся желтыми:

1. Общее количество способов выбрать любые 3 карандаша из 12:
   Это определяется как сочетание из 12 по 3:
   [ C_{12}^{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 ]

2. Количество способов выбрать 3 желтых карандаша из 5:
   Это определяется как сочетание из 5 по 3:
   [ C_{5}^{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 ]

3. Вероятность того, что все 3 карандаша будут желтыми:
   Это отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:
   [ P(\text{все желтые}) = \frac{10}{220} = \frac{1}{22} ]

б) Вероятность того, что первые два карандаша — желтые, а третий — красный:

1. Количество способов выбрать 2 желтых карандаша из 5 и 1 красный из 7:
   Сначала выбираем 2 желтых из 5:
   [ C{5}^{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 ]
   Затем выбираем 1 красный из 7:
   [ C{7}^{1} = 7 ]

2. Общее количество благоприятных исходов:
   Это произведение количества способов выбрать 2 желтых и 1 красный:
   [ 10 \times 7 = 70 ]

3. Вероятность того, что первые два карандаша желтые, а третий красный:
   Это отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:
   [ P(\text{первые два желтые, третий красный}) = \frac{70}{220} = \frac{7}{22} ]

Таким образом, вероятности событий составляют:

а) Вероятность того, что все карандаши окажутся желтыми — (\frac{1}{22}).

б) Вероятность того, что первые два карандаша — желтые, а третий — красный — (\frac{7}{22}).

а) Вероятность того, что первый карандаш будет желтым: 5/12 Вероятность того, что второй карандаш будет желтым при условии, что первый был желтым: 4/11 Вероятность того, что третий карандаш будет желтым при условии, что первые два были желтыми: 3/10 Вероятность того, что все карандаши окажутся желтыми: (5/12) (4/11) (3/10) = 1/44

б) Вероятность того, что первый карандаш будет желтым: 5/12 Вероятность того, что второй карандаш будет желтым при условии, что первый был желтым: 4/11 Вероятность того, что третий карандаш будет красным при условии, что первые два были желтыми: 7/10 Вероятность того, что первые два карандаша - желтые, а третий - красный: (5/12) (4/11) (7/10) = 7/66